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数学家教你铺能得诺贝尔奖的地砖 | 科学人 | 果壳网 科技有意思

2016-11-19  许愿真

2011年诺贝尔化学奖授予以色列人丹尼尔·舍特曼(Daniel Shechtman),他观察到自然界中基本粒子存在非周期性排列的现象。这个 准晶模型 的发现,拓展了整个晶体学界的知识域和审美视野。

但其实,在此之前数学界就已经研究过这个问题,并且持续探索了半个世纪之久,到今天虽然依旧留有悬念,不过结果已然精彩纷呈。问题的起源可以非常简单,不妨让我们从地板砖说起。

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你注意过脚下的地板砖是什么形状吗?它们通常都是正三角形、正方形和正六边形。事实上,如果想要用单一的一种正多边形铺满整个平面,那么正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种选择。这是因为,这三种图形的内角分别是 60° 、90° 和 120° ,它们都是 360 的约数。如果换作内角为 108° 的正五边形,那么它无论如何也没法既无重复又无遗漏地铺满整个平面——三个正五边形相接,不能摆满 360° ;四个正五边形相接,又超过 360° 了。

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正多边形平铺平面的能力

不过,如果允许多种形状不同的砖块组合,我们就能得到几乎是无穷无尽的地板砖设计方案。我们甚至能构造出这么一种极端的情况:单看每一种砖块都不是平铺平面的料,但把它们合在一起,就能得到一个漂亮的平铺方案。在下图中,基本的砖块只有四种,正五边形、正十边形、正五角星和一个包含 16 条边的 8 字形砖块。这四种砖块都没法单独平铺平面,但彼此合作就能得出一个不错的平铺图:

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一个非周期性的平铺方案

请注意,这个平铺方案和我们之前的那些方案有一个很大的不同:它不是周期性的!换句话说,它不是某一种基本模式的重复排列,不管怎样对整个平面进行平移,图案都不能和原来重合。但这其实有些故弄玄虚的味道。因为事实上,我们可以用这四种砖块实现一个简单的周期性平铺:

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一个周期性的平铺方案

于是我们想问:存在一组砖块,它可以平铺整个平面,但只能用非周期性的方法才能平铺整个平面吗?其实,为了给这个问题找出一个完美的回答,数学家们已经奋斗了整整半个世纪。

故事的起点:王氏砖块

1961 年,美籍华裔数学家王浩考虑了这么一个有趣的问题:大小相同的正方形砖块可以无限地平铺整个平面,但如果增加一些额外的限制呢?王浩设想了一种边上涂有颜色的正方形砖块,并要求摆放砖块时只有相同颜色的边才能挨在一起(砖块不能旋转、翻折)。我们通常把这样的砖块叫做王氏砖块(Wang tile)。任意给定一组王氏砖块,能否用它们摆满整个平面呢?如果砖块数量一多,这就不容易看出来了,就连计算机也不见得有简单的判断方法。寻找一种简洁有效的判断方法,成为了王氏砖块研究的核心问题。

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一个可以平铺平面的王氏砖块组,以及一个不能平铺平面的王氏砖块组

在研究过程中,王浩找到了一种算法,它能够列举出所有可以周期性平铺平面的砖块组,同时也能列举出所有不可以平铺平面的砖块组。因此,如果任意一个砖块组都只可能属于上述两种情况之一,那么我们就能保证在有限长的时间里等到答案。这样看来,王浩似乎成功找到了一种判断给定的王氏砖块是否能平铺平面的算法。

但五年之后,事情突然发生了 180 度大逆转。数学家罗伯特·贝格(Robert Berger)在 1966 年证明了,王氏砖块问题事实上是一个不可判定问题。这听上去似乎很不合逻辑,但经过严格推导后,事实就摆在眼前:判断一组给定的王氏砖块能否平铺整个平面,这不但没有简洁有效的算法,而且事实上根本就没有任何算法。再天才、再有耐心的程序员,也不可能编写出一个自动判断一组王氏砖块有无平铺方案的程序,因为这在理论上就是不可能实现的。

把两人得出的结论一对比,我们立即可知,一定存在一组王氏砖块,它只能非周期性地平铺平面!人们通常把这样的砖块组简称为“非周期性砖块组”。在 1966 年的论文中,罗伯特·贝格给出了第一个非周期性砖块组,它由 20426 个砖块构成。没多久,贝格本人又给出了一个含有 104 个砖块的非周期性砖块组。经过其他数学家的努力,这个数目不断地减小,最终在 1996 年减小到了 13 块。

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只含有 13 个砖块的非周期性砖块组

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上述非周期性砖块组的平铺方案

罗宾逊砖块组

既然王氏砖块中存在非周期性砖块组,那么对于其他类型的砖块,存在非周期性砖块组也不足为奇了。1971 年,美国数学家拉斐尔·罗宾逊(Raphael M. Robinson)发现了一个只含 6 个砖块的非周期性砖块组。不过,这里“砖块组”的意义和王氏砖块却有很大的区别:这里的砖块都可以旋转或者翻转,另外除了边上有匹配规则以外,角上也有相应的规则。下图就是罗宾逊砖块组,其中边上和角上的匹配规则都巧妙地用拼图的形式表示了出来。

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罗宾逊砖块组

为了便于研究,我们通常会在罗宾逊砖块中加上两种颜色的线条。罗宾逊砖块组可以平铺平面,但只能非周期性地平铺平面。下图就是一种平铺方案,注意两种颜色的线条将会产生尺度越来越大的正方形,这说明这种平铺方案是非周期的。

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罗宾逊砖块组的平铺方案,除右下角外,其他部分都省略了具体的砖块形状,只保留了由线条构成的“骨架”

彭罗斯砖块组

砖块的数目还能继续减少吗?答案是肯定的。1974 年,英国数学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)跳出了正方形砖块的圈子,巧妙地构造出了一系列非周期性砖块组。其中最简单的一个砖块组只含两个砖块,它们分别是 36 度菱形和 72 度菱形:

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彭罗斯砖块组,其中边界上的匹配规则已经用拼图的形式给出

在边界规则的限定下,我们只能用它们非周期性地平铺整个平面:

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彭罗斯砖块组的平铺方案

现在,我们的问题就只剩下一个了:是否存在由单个砖块构成的非周期性砖块组呢?

泰勒砖块组

2010 年 9 月,非周期性砖块组的问题终于有了一个大突破。琼·泰勒(Joan M. Taylor)发现了第一个只含单个砖块的非周期性砖块组。

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泰勒砖块组

这是一个六边形的砖块。在摆放的时候,我们可以任意旋转或者翻转砖块,但有两点限制。第一,黑色的线条必须连在一起(这也就相当于是边界匹配规则);第二,一条边两端的紫色小旗必须朝向相同的方向。

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其中规则二中的两个小旗来自于两个不相邻的砖块。可以证明,用这种六边形砖块是能够平铺整个平面的,但方案是唯一的。拼接的限制很巧妙地迫使黑色线条构成规模越来越大的三角形,从而使得整个图形不具有周期性。

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泰勒砖块组的平铺方案

不过,泰勒砖块组有一个明显不尽人意的地方:它的第二条规则是对不相邻砖块的摆放限制,这显得有些“过”了。因此,非周期性砖块组的问题仍然不能算作是彻底解决。是否存在一个更常规的单个非周期性砖块呢?这个问题至今仍未解决。

想让你的地板更酷更炫更骚更帅更靓更有型更与众不同更 geek 更 math 吗?用这些图块铺地板吧。

参考资料:

维基百科: Aperiodic tiling

了解更多:

【2011诺贝尔化学奖解读】准晶:似晶非晶

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