三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数,然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法,此方法应用非常广泛,本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1化简无理式,进而解决相关问题.
例 函数f(x)=√x?3+√12?3x的值域为() A.[1,√2] B.[1,32] C.[1,√3] D.[1,2] ——提问者:张振 2016-09-22 20:39 分析 考虑到(√x?3)2+(√4?x)2=1,可用三角换元对原题进行变形求解. 解 (解答者:石家庄昶乐) 题中函数可变形为f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt3\cdot\sqrt{4-x},由(\sqrt{x-3})^2+(\sqrt{4-x})^2=1,可令\sqrt{x-3}=\sin\theta,\sqrt{4-x}=\cos\theta,其中\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right],此时题中函数化为f(\theta)=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta,其中\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right],结合辅助角公式,得f(\theta)=2\sin\left(\theta+\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right), 其中 \theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right],因此,f(\theta)的取值范围为[1,2],故原函数的值域为[1,2]. 总结 (1)当题中出现两个无理式相加减的形式,且其“平方和”或“平方差”为定值时,可根据三角恒等式进行换元; (2)三角换元是换元法的一种,换元后一定注意新变元的范围,也就是需要根据题意给出\theta的合理范围; 练习 1.求函数y=\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}的值域. ——提问者:燕子 2016-09-22 10:02 2.设a,b>0且a+b=5,则\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}的最大值为______. ——提问者:大雨瓢泼 2016-08-15 13:48 3.若不等式\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqslant k\cdot\sqrt{2x+y}对任意正实数x,y成立,求k的最小值. ——提问者:封神 2016-09-26 16:26 答案 1.\left[\sqrt3,2\sqrt3\right]; 2.3\sqrt2; 3.\dfrac{\sqrt6}{2}. 备注:若要查阅详细的解答过程,请在光子问答APP中搜索用户名,查看用户提问的问题,找到对应时间所发的题即可. 关于数海拾贝 “数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》,每天精选一道高中数学好题,从破题的思路,图文并茂的讲解到精辟到位的总结,同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考,一定能在两三个月获得明显的进步,在高考中取得好成绩。
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