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2023年北京高考数学第22题
题目描述：
在平面直角坐标系内，曲线$y=ax^2+bx+c$($a\neq 0$)与$x$轴有两个公共点$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac=20$，且点$A$、$B$间的线段$AB$上存在一点$C$，使得$AC=CB$。设$\angle ACB=2\alpha$，则$a\sin\alpha$的值等于$\dfrac{\sqrt m}{n}$，其中$m$、$n$为正整数，且满足$m,n$的最大公约数为$1$。请问：$m+n$的值为多少？
解题思路：
1. 给出的曲线方程为二次函数，根据定点式可以得到：
$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$
2. 由于曲线与x轴有两个交点，所以曲线的判别式$\Delta$必须大于0。由题可知判别式为20，因此可以列出以下方程组：
$$\begin{cases}b^2-4ac=20\\x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\end{cases}$$
3. 根据题意，$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$关于$y$轴对称，因此有$x_1=-x_2$。将$x_1$代入第二个方程中，可以得到$x_1=-x_2=2a$。
4. 将$x_1$、$x_2$和$\Delta$代入第一个方程中，可以得到：
$$b^2-4ac=b^2-4a(ax_1^2+c)=4a^2-4ac=20$$
5. 整理得到$a^2-ac-5=0$，解得：
$$a=\dfrac{c\pm\sqrt{c^2+20}}{2}$$
6. 由于曲线为开口向上的二次函数，且过点$A$、$B$，因此$A$、$B$间的线段$AB$为曲线的凸包，且与$x$轴交点的横坐标为$\dfrac{x_1+x_2}{2}=0$，因此直线$AB$的方程为$y=2a(x-x_1)$。如果$AC=CB$，则点$C$在直线$AB$的垂线上。设点$C$的坐标为$(x_0,y_0)$，则有：
$$\begin{cases}y_0=ax_0^2+bx_0+c\\y_0=2a(x_0-x_1)\cdot\tan\alpha\end{cases}$$
7. 将方程合并，可得：
$$ax_0^2+bx_0+c=2a(x_0-x_1)\cdot\tan\alpha$$
8. 将$x_1=-2a$代入上式，可得：
$$ax_0^2+bx_0+c=4a(x_0+2a)\cdot\tan\alpha$$
9. 将曲线方程代入上式，将$x_0$表示为关于$a$、$b$、$c$的函数，可得：
$$a\left(x_0^2+8x_0+16-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)=4a\sqrt{\dfrac{5+a^2}{c}}\cdot\tan\alpha-c$$
10. 注意到$x_0^2+8x_0+16-\dfrac{b^2}{4a^2}=(x_0+4)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=\dfrac{5-ac}{a^2}$，因此上式可以化简为：
$$a^2\sin^2\alpha=\dfrac{c}{5+ac}$$
11. 再次将$a$、$b$、$c$表示为关于$\Delta$的函数，有：
$$a=\dfrac{\Delta+20}{10}=\dfrac{9}{2}$$
$$b=-2\sqrt{a\Delta}=-10\sqrt{2}$$
$$c=\dfrac{\Delta-20}{4a}=-\dfrac{5}{18}$$
12. 将$a$、$c$代入上式，得到：
$$\sin^2\alpha=\dfrac{20}{41}$$
13. 故：$m+n=61$。
总结：
此题主要考察了二次函数相关知识，需要灵活使用二次函数的定义式和平移公式，以及判别式的求解技巧。同时，题目中也涉及到了几何知识和三角函数的概念，需要考生掌握。
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