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这是今年，2021年广东省中考数学的压轴题： 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点(-1,0), 且对任意实数x,都有4x-12≤ax^2+bx+c≤2x^2-8x+6. (1)求该二次函数的解析式； (2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C; 点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N, 使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在, 说明理由. 分析：(1)最简单的一步是将点(-1,0)代入解析式，列得一个三元一次方程； 又当4x-12=2x^2-8x+6时，必有ax^2+bx+c=4x-12，求得x=3，代入上式，又可以列得一个三元一次方程； 又因为ax^2+bx+c=4x-12有唯一解，即直线与抛物线相切，因此可以由判定式列得第三个三元方程。 最后由前两个三元方程，求出b,c与a的关系，再代入第三个三元方程，就可以解得a，从而解得三个参数的值。 解：(1)将(-1,0)代入y=ax^2+bx+c得：a-b+c=0 (1) 当4x-12=2x^2-8x+6时, 解得x=3, 又当x=3时, 4x-12=0, ∴9a+3b+c=0 (2) 由(2)-(1)得, 8a+4b=0, ∴b=-2a, 代入(1)得c=-3a, 依题意, 方程4x-12=ax^2+bx+c有唯一解, ∴△=(b-4)^2-4a(c+12)=0, ∴(-2a-4)^2-4a(-3a+12)=0, 解得a=1, b=-2, c=-3, ∴二次函数解析式为：y=x^2-2x-3. 分析：(2)先设M，N的坐标，写出A，C的坐标。必须自己作出图象，然后分情况讨论。 当AC是对角线时，有一种可能；当AC是边是有三种可能。 这里要利用平行四边形的性质，结合几何法，如果直接求线段的距离，运用两点的距离公式，有可能出现高次方程。所以有些地方需要做灵活变通。 解：(2)或设M(m, m^2-2m-3), N(n,0), 如图,连接AC, A(3,0), C(0,-3), 若AC是对角线, 由CM//AN可得M(2,-3), (这里省略掉一些运算过程)  由NA=CM可得：3-n=2, 解得n=1，(结合图象理解,注意N点在A点左侧) 即N(1,0)满足条件; 若AC是边, (则包含三种可能) 当M点在第四象限时, 仍有M(2,-3),  由AN=CM可得：n-3=2, 解得：n=5.(结合图象理解,注意N点在A点右侧) 即N(5,0)满足条件; (M点不能在第三象限) 当M点在x轴上方时, m^2-2m-3=3, (即M，C到x轴的距离相等)  解得m1=1+√7, m2=1-√7, n=m1-3= -2+√7或n=m2-3= -2-√7,（根据M,N的水平距离等于A，C的水平距离，同时得到最后一种情形的N点）,  综上, 满足的N点有(1,0),(5,0)和(-2±√7,0). |
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