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童增祥教授，1966年南京大学数学系毕业，曾在中学任教12年，后又曾在上海铁道学院任教6年。1985年赴美，1991年获应用数学博士学位。此后在Otterbein Univ任教迄今。 我与童增祥教授曾经通过信。他对我做出过评价，只是评价太高了，我都不好意思贴出来。也曾推荐我去美国数学年会作报告。可惜我不太争气，最后没去了。 童教授的中文很好，文笔优美，本可以自己用中文。只是这篇文章是写给外国人看的，所以用了英文。中国人翻译过来，也很好，有借鉴作用。 本文原载于《高等数学研究》。 童教授青年时代照片，多帅!
怎样学好数学 —童增祥教授给大学新生的一封信
罗天琦 译 编者按 童增祥博士(ztong@otterbein.edu)是美国第一位教育数学的讲座教授。他于2015年秋给奥特本大学(Otterbein University)数学系新生的信,融合了中国和美国的教育观念,对大学新生的数学学习方法做了深入的剖析。特此译出,供我国大学生们参考。
祝贺你来到奥特本大学主修数学专业! “数学是人类精神最美丽最伟大的创造”(Stefan Banach,1892-1945)。学好数学需要一定的才智。才智,不是天上掉下来的,而是在学习过程中,一点一滴积累起来的。根据我几十年来的教学经验,我相信,只要专心听课,并努力完成课外作业,你就能够学好数学。 请细心领会和体味教授讲课中的逻辑论证。数学是哥特式教堂一样宏伟的逻辑结构。定义是概念,定理揭示了概念之间的关系,证明是一系列显示新旧定理关联的逻辑推理,应用则展现了数学在解决现实世界问题中的巨大力量。数学的美妙,就在于,它从简单的概念出发,沿着一步步的推理进入思维深处,山重水复?迷雾叠嶂;突然间,峰回路转?豁然开朗,你看到了宇宙的真理:本以为是不可思议的奥秘,却像水晶一样简单纯洁?晶莹透亮,像繁花一样似锦似绣?灿烂美丽,又像宙斯的神力和雷霆,可以移山填海?改造世界,可以克敌制胜?无坚不摧。 无论何时,如果你对教授的推理或计算有疑有惑,请立刻提问。你不愿提问题,是怕干扰教授的讲课,还是不想自己看上去笨笨的?第一,你的疑惑往往也是其他一些同学的疑惑。所以,你率先提问,实际上是帮助你的同学更有效地学习,帮助教授更有效更有针对性地授课。第二,请记住,天下没有愚笨的问题,提问意味着你在思考,而思考会让你变得越来越聪明。善疑善惑是研究创造的原动力。John Bolyai(1802-1860)就是因为对欧几里德的第五公设有疑有惑,而后深入研究,锲而不舍,在二十来岁的青年时期,独立地发现和创立了非欧几何。他的文稿只有24页,但是,George Halsted(1853-1922)却热情地赞为“人类思想史上最非凡?最卓尔不群的二十四页”。 当教授或其他同学提出问题时,请积极参与课堂讨论,阐述你的见解和解题方案。为了帮助你深入地理解数学,教授常常会提一些精心设计的问题,激励你思考。与同学们分享你的思想,既帮助其他同学,又能够提高你的数学思维,锻炼你的逻辑表达能力,训练你的领袖能力。须知,成功的教育,是第一流的头脑之间相互交流?第一流的思想之间相互碰撞的产物。 如果你发现教授的讲课中有任何错误,请立即指出来。你以前不这样做,是因为你尊敬老师,不忍令他(她)难堪? 不要担心,教授犯点儿数学错误并不丢脸。即使是David Hilbert(1862-1943),最伟大的数学家之一,也经常在授课和论文中出现这样那样的错误。我有一条童氏准则:如果你当场指出我讲课中的错误,你就是一位出色的学生。因为这证明你在专心听课,认真思考,特别是在进行批判性的思维。吾爱吾师,吾尤爱真理。批判性思维是数学家最显著的特点之一。当你开始敢于批判性地检查教材和教授的教学内容时,你就具备了成为一名严谨的数学家的最基本的素质。 每堂课后,请花点时间回顾学到的知识,回想课堂主题?新的概念和主要定理,回想数学论证中运用的主要策略和技巧。听课的时候,你追随着教授的论证,或许很艰难,或许感到有太多的信息,或许像陷在迷宫之中。现在,俯瞰全局,你会惊喜地发现,整堂课的逻辑结构是多么清晰,多么简单,多么自然!这种由博返约?从厚到薄?提要钩玄?以简驭繁的功夫,可以帮助你深入理解数学内容,可以帮助你课后的复习和练习。而且,这种功夫是你将来做大学问的一个重要手段。 数学不是一项观赏性的活动。要学好数学,必须做大量的题目。课后练习题可以分成三类。第一类,约占50-60%,常规的基础练习题。这类题目帮助你理解?消化和掌握课堂上或书本里的知识和技巧。第二类,约占30-35%,综合型的难题。它们展示出不同章节,甚至不同数学领域的关联,表现了数学的内在统一性。它们也能训练你的解题策略和技巧。第三类,约占5-20%,是挑战性的难题。它们测试你的高水平的解题策略和技巧,也锻炼你的研究和创新能力。尽管你不需要,有时也不可能完成全部作业,但是,你应该努力解答尽可能多的习题。在解题上遇到困难怎么办?有几种办法。你可以向同学请教;可以寻求教授的帮助;可以在习题课上提出来?引起全班讨论;也可以记在脑海里,日后多思考,寻求一种或多种的解题方法。每一位数学家的心中都有几道可爱的难题。他(她)经常思考它们,与它们倾谈,寻求解法或新的解法,或者拓展?推广?深挖其中的数学内涵。例如,Carl Friedrich Gauss(1777-1855)二十岁时就在人类历史上第一次成功地证明了代数学基本定理。但是,他的心里,一辈子都珍藏着?思考着这个定理,一辈子都在寻求新的证明。从二十岁的青年,到七十多岁的老年,五十余年中,他发表了这个定理的四种不同的证明。George Polya(1887-1985)有一个著名的断言,“No problemwhatever is completely exhausted。”意思是说,每一个数学问题都可以继续深入研究。如果你解决了一个公认的难题,或是发现了一个经典问题的创新解法,你就应当有高度的自信,相信自己会成为一位优秀的数学家。数学家思维的标志性特点,就在于它严谨的逻辑性?透彻的批判性以及新颖的创造性。 最后,希望你与教授们多多交往。我系的教授,都是有成就的研究者?有爱心的教育者。他们是你的严师,也是你的挚友。如果你学习上遇到困难,请告诉他们;他们会耐心地再讲解,逐步地引导你,帮助你理解数学?掌握技巧?克服困难。如果你在数学上有新的发现,也请告诉他们;他们会分享你的快乐,向你推荐适当的参考文献和书籍,指导你做进一步的研究,帮助你更上一层楼。请记住,教授们的最大的快乐,就是看到你成长为一名德才兼备的数学专家。
译者简介 罗天琦(1982-),女,四川娥眉人,硕士,讲师,从事数学教学研究,Email:ltg765@163.com
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