圆锥曲线的焦点三角形问题

高考数学丨MOOK

2016 第35期

赵国梁

一、焦点直角三角形

P是椭圆或双曲线上任意一点,F₁，F₂分别为椭圆或双曲线的左右焦点.

【注】上述结论在双曲线中亦成立，请同学们仿照椭圆的证明过程自行证明.

小结

焦点直角三角形是焦点三角形的一种特殊情况，故很多量均为定值，作为结论记住，可以在解决选择题、填空题中直接应用.

二、周长问题

当题目中涉及到三角形周长时，通常会与椭圆的定义相结合.如图，点P是椭圆上任意一点，F₁，F₂ 分别是椭圆的左右焦点.

   题目中直接考察焦点三角形周长的可能性很小，同学们需要注意的是这种运用圆锥曲线定义来解决边长的思想，例如下题：

点  评

     如果焦点三角形问题中涉及边长，要考虑用整体的思

想，尝试将其转化为周长，然后用圆锥曲线的定义解决问题.

焦半径公式其实也是源于课本，其证明过程暗含在人教版课本的椭圆标准方程推导过程中，如下图所示：

高考源于课本，同学们在复习过程中不要忽视了课本的重要性.此外，我将在“秒杀解析几何”的“第二定义”专题中提供该公式的简单证明方法，请同学们持续关注.

作为高考压轴题，不会单纯考察|PF₁|，|PF₂|的长度，考题中必然会与三角形的其他性质相结合.下题将展示焦点三角形边长与三角形角平分线结合的问题.

小结

此题考察的是三角形角平分线与圆锥曲线的结合，若熟练掌握三角形角平分线的性质以及焦点三角形边长方面的结论，则可以快速解决问题.

三、面积问题

 焦点三角形面积问题主要考察焦点三角形有关性质与余弦定理的结合，通常作为选择题、填空题，或者放在压轴题第一问，其难度不大，但如果按部就班地去计算，难免会浪费时间，下面将提供几个终极结论以及证明过程，请同学们熟练记忆.

1

椭圆焦点三角形面积公式

小结

此结论可以直接记住，省去了上述用余弦定理推导的繁琐过程.

2

双曲线焦点三角形面积公式

NaN

     证明过程同椭圆焦点三角形面积的证明过程，请同学们自行证明.双曲线焦点三角形的面积考察频率不高.

小结

在焦点三角形面积问题的处理中，记住公式是一个快速解题的策略，但最重要的还是要掌握将余弦定理应用在焦点三角形问题的思路，当题目中涉及到焦点三角形的角与边的关系时，一定要考虑正、余弦定理的应用.

3

抛物线的焦点三角形面积公式

NaN

四、取值范围问题

该结论依然通过余弦定理证明，故余弦定理在处理焦点三角形问题时是一个非常重要的思路，必须掌握，有能力的同学可以直接将该结论记住，做题时可以节省推导的时间，做到秒杀解析几何.

点  评

焦点三角形中涉及到取值范围问题时的主要思路即构造不等式，根据具体题目可以选择从角或边的角度构造，特别注意当题目中涉及角度时，可以直接应用公式，提高做题速度.

总结

三角形与圆锥曲线的结合是高考的一大热点.其中焦点三角形问题属于一种特殊情况，因为该三角形的其中两边都为焦点弦，所以可以直接推导应用的结论比较多，如果能记住上述几个结论，记住固定的做题思路，可以达到事半功倍的效果.

本文涉及了焦半径公式、通径公式、角平分线性质、焦点三角形面积公式、角度与离心率不等式的五个结论，以及定义法，巧用余弦定理，三角形三边之间的关系等常用思路，需要同学们在平时做题中尝试运用，熟练掌握.

精彩预告

本文作者赵国梁老师会在MOOK二轮复习中担任解析几何专题部分特约作者，赵老师的“秒杀解析几何”对大家一定会有很大帮助，敬请持续关注哦！