因为月考赶上运动会, 继国庆之后, 感觉又放了一个小长假。 原本身体是很愿意的, 可是, 刚讲的解析几何突然被中断了, 思想上还真是有点矛盾。 因为, 想了想两天后该讲些什么, 脑中却一片空白了, 突然有了点无所适从的感觉。 所以说, 学习真的需要一个连贯性的思维, 和一个安静的环境。 不过, 今天也真的是有些时间, 想了想, 还是写点什么吧, 就来个椭圆的焦点三角形。 因为很多时候, 圆锥曲线的考题, 都会与焦点有或多或少的联系。 而焦点三角形, 也确实是圆锥曲线中, 一个最为特殊的存在了。 01 什么是焦点三角形 椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 02 焦点三角形周长 因为顶点P总在椭圆上, 所以它一定是满足椭圆定义的。 这样的焦点三角形, 其周长就一定是定值。 03 焦点三角形顶角 显然, 和周长不同的是, 焦点三角形的顶角θ是一个变量。 但是, 它的变化也还是有一点规律可循的: P从长轴端点向短轴端点运动的过程中, 顶角θ从0增大到它的最大值。 如图所示位置的顶角, 就是最大的了。 此时, 04 焦点三角形面积 说到面积, 当然会想到一些面积的常用公式。 在我的映象中, 平时最常用的面积公式, 其实也并没有太多了: 但作为椭圆中一个特殊的、 焦点三角形的面积, 一定还应该会有其特殊性的吧。 确实, 根据椭圆的定义及余弦定理, 可以导、得出一个非常好记的面积: 其实, 建议你也自己推导并记住它, 毕竟这个公式, 以后可能会经常与它见面的。 其实, 在我的解题经验里, 这个面积公式, 除了可以计算焦点三角形的面积, 还可以有这样的姿态: 原来, 利用面积, 还可以求顶点的坐标呢! 是不是有点太神奇! 05 焦点三角形内心 说到三角形, 当然免不了谈到它的几个心了。 而焦点三角形中, 我觉得还是内心, 才是最为较特殊的。 至于特殊在哪, 你可以先看看下面的结论: 原来, 内心与离心率是有直接关系的。 当然, 如果在焦点三角形中用正弦定理, 也是可以得到离心率的: 所以说, 椭圆的离心率, 除了在基本三角形中有它的几何意义, 能够影响椭圆的扁圆程度, 在焦点三角形中, 也是有它自己的位置的。 最重要的是, 如果已知了焦点三角形的大小, 是可以秒求离心率的。 知道么? 椭圆焦点三角形内心的轨迹, 其实依然是一个椭圆, 只是比原来的, 稍微小了点。 如果你愿意计算, 你还会得到两个椭圆离心率之间的关系: 如果你再耐心点, 会不会发现在我的证明过程中, 求点M坐标时, 并没有用到最好的焦半径公式, 而是用到了切线方程? 其实这个道理, 源于课本中, 对椭圆光学性质的解释。 06 椭圆光学性质 还记不记得教材中, 椭圆的这一组光学性质了呢? 它的意思其实也简单, 就是说: 从椭圆焦点发出的光线, 被椭圆反射后, 反射光线一定是要经过另一个焦点的。 嗯, 就像是动图中那样, 可以一直反射下去, 无止尽的。 反射过程中, 我想到了物理中的光学性质。 对于入射光线与反射光线, 是总有入射角等于反射角的。 于是, 这里便出现了, 角平分线的问题了。 所以说, 联想很重要! 从图中很容易就看出, 焦点三角形的顶角平分线, 其实就是法线了。 而法线, 很显然的, 应该与点P处的切线互相垂直吧! 我就是这样, 求得了顶角平分线方程的。 其实, 与三角形内心相对的, 焦点三角形还有三个外心。 而这三个外心的轨迹, 也是非常有意思的。 之所以说有意思, 主要还是因为, 这组结论, 也太漂亮了点吧! 看见了么? 两条焦半径所对的外心I1和I2, 轨迹方程正好是x=±a, 而底边所对的外心I3的轨迹, 却是一个你意料之外的椭圆! 那么你有勇气, 亲自操刀, 证明一下么? 07 焦点三角形重心 我想更让你惊讶的是, 焦点三角形重心的轨迹, 竟然依然是个椭圆! 其实, 也只是你没有想到而已, 因为, 这个结论的证明, 其实真的是再简单不过了, 我只用了一个重心的坐标公式, 就轻易搞定了它。 08 焦点三角形外心 说到外心, 当然也是要想到其轨迹了。 可惜这个没有给你惊喜, 因为外心一定是在y轴上的吧? 那还多想什么呢! 至于外接圆的半径, 一般自然就想到了正弦定理了。 所以外接圆的半径: 关于椭圆的焦点三角形, 今天的讲解, 应该是你见过的, 最为全面的了。 其实, 双曲线的焦点三角形, 它的相关性质, 和椭圆其实基本是一个类型的。 也希望有心的同学, 能够试着用类比的方式, 去进行一些研究。 END 相关链接: |
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