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三 集合对应的逻辑运作大体有三类。一是有限集的对应逻辑运作，二是无限集的对应逻辑运作，三是无限集与有限集对应的逻辑运作。 所谓集合对应，就是指两个或若干不同集合的互为对应。并由此绽出各种集合对应的逻辑关系，即集合对应的概念运作。 第一，有限集对应的逻辑。 例如，一辆旅行车有50个座位，这是一个有限集合；相对应的另一个有限集合是一批游客。这两个有限集合的一一对应关系是，每个游客都占有一个座位。在这样的一一对应关系中，这辆旅行车的满员是50名游客。如果发现有2个座位空着，那就可以必然推定车上只有48个游客。如果发现有3个座位空着，那么就可以必然推定车上只有47个游客。这样的必然推定的有效性是，在旅途中旅客下车再上车，就可以从座位是否有空缺上，逻辑必然地推定旅客是否全部上车或还少了几个旅客没有上车，以此决定是按时开车还是等人全上车了再开车。 又如，以一箱10个盒子为有限集合，每个盒子有十个格子装10支针剂，一箱10个盒子则以100支针剂为数量合格。以此为有限集合进行检查验收时，10个盒子全装满了针剂，那么有限集合对应的逻辑必然判断是，10个盒子里实有针剂100支。如果发现有8个盒子装满了针剂，另有2个盒子，一个缺少了1支针剂，一个缺少了2支针剂，那么有限集合对应的逻辑必然判断是，这箱10个盒子里只有97支针剂，数量不合格，需补上3支针剂。 再如，计算机系统的颜色，以2的多少次方为表达。2的8次方为256种颜色，2的16次方为65536种颜色，2的24次方为 16777216种颜色，2的32次方为4294967296种颜色。在这里，256种颜色的有限集对应2的8次方有限集，65536种颜色的有限集对应2的16次方有限集， 16777216种颜色的有限集对应2的24次方有限集，4294967296种颜色的有限集对应2的32次方有限集。 这样的实际例子可以举出很多很多，它们都属于有限集合对应的逻辑运作和能动。有限集合对应的逻辑运作和能动比较简单，在生活中处处发生，一说就能明了。 第二，无限集对应的逻辑。 无限集合对应产生许多复杂的概念抽象和逻辑关系，甚至出现相反的疑难。 如，在与自然数整体的无限展开对应中，奇数和偶数等子集的无限展开可以一一对应自然数的无限展开，在这样的无限展开中自然数整体集和它的各个子集没有大小之分。人们似乎可以由此得出一个结论，即无限集是没有大小之分的。 然而，在深入的研究中，人们发现情况并不完全这样。在数学中，实数集和自然数集是不能一一对应的。如， π 这个实数在自然数的数轴无限延伸中是找不到它的对应点的，也就是说在自然数集的数轴上是无法标出的。于是就出现了实数集大于自然数集的逻辑必然。这样，不同的无限集，因不能一一对应而产生了大小不同的逻辑必然。 无限集的深入探究，进一步带来了超限序数，实无限以及集合悖论等等的逻辑概念，绞尽了许多优秀逻辑学家的脑汁。 怎样来理解这些的问题呢？ 例如，如果在一个线性的平行轴上，把奇数和偶数二个自然数子集，同自然数全集一一对应，由于奇数这个自然数子集是一个无限伸展，就会在这样的对应中无限伸展而永远轮不到后位序列的偶数子集同自然数全集发生对应。为解决这个问题，德国数学家康托尔设想和创立了一个超限序数的概念抽象，并用希腊字母的最后一位ω 为符号标识。康托尔试图通过超限序数ω，以连续统的方式实现奇数子集和偶数子集与自然数全集的对应展开。 康托尔所设想和创立的超限序数，其目的是力求从全体所在上实现潜无限到实无限映现。能否给出潜无限到实无限的证明呢？康托尔充满了信心，但罗素提出了一个集合的本身是否是这个集合中的一个成员呢？这个疑难重重低给了康托尔一击，造成了一场无以实现集合全体所在的逻辑危机。 罗素的集合逻辑悖论尽管被现代逻辑学“解决”掉了，但这个解决一直没有得到真正的说明和透彻的理解。 这里关键是两点： 一是，任何一个无限集，无论是无限集的全集还是子集，都是建立在有限之态的基础上的。如：收敛级数的无限展开是建立在收敛级数这个有限之态基础上的，以此为界限；圆周率的不循环小数的无限展开是建立在圆周率这个有限之态基础上的，以此为界限；实数集的无限展开是建立在实数这个有限之态基础上的，以此为界限；自然数集的无限展开是建立在自然数这个有限之态上的，以此为界限；偶数集和奇数集的无限展开是建立在偶数和奇数各自的有限之态基础上的，以此为界限；宇宙集的无限扩展是建立在宇宙这个有限之态基础上的，以此为界限；分子集的无限深入展开是建立在分子这个有限之态基础上的，以此为界限；等等，各种无限集的概念抽象都是建立在各自的有限之态的对象统摄基础上的，并以此为它们各自的界限。而这样的有限之态的界限规定在本质上就是无限的全体所在，在概念方式上就是一种标志着全体所在的实无限。如，在收敛级数1 = 1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/64+1/128···中，1就是这个收敛级数的有限之态，也就是这个收敛级数的全体所在和实无限，当我们把1 = 1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/64+1/128···倒过来就可以十分清晰地从这个倒置···1/128+1/64++1/64+1/32+1/16+8/1+1/4+ 1/2=1 中看到，1 就是这个收敛级数的全体所在和从潜无限到实无限的标志。 二是，人类概念抽象的基本原理： 1、任何一个概念抽象都是建立在符号指称和对象的联结上的，是以指称和对象的联结为有限之态的。如“牛”这个概念抽象是建立在牛这个语词符号指称和被称之为牛的对象的有限之态联结上的，“汽车”这个概念抽象是建立在汽车这个语词符号指称和被称之为汽车的对象的有限之态联结上的，等等。 2、任何一个概念抽象，都在各自的有限之态的界限规定中统摄一切可以被它所统摄的对象，这种统摄是潜无限的。如“宇宙”这个概念抽象是可以潜无限地统摄一切现有的和未来的星空发现的，“基本粒子”这个概念抽象是可以潜无限地统摄一切现有的和未来的微观世界发现的。这样，在人类的概念意识方式中，一切概念的抽象和运作都内含着有限之态的无限构造原理，内含着潜无限和实无限对立统一的构造原理。潜无限和实无限的长期争论和无以定论，在本质上是由于不了解人类头脑中的概念原理造成的，它因人们对概念原理的不明而产生亦将为人们对概念原理的明了而消解。 3、人类头脑中的概念抽象运作，有一种集合进阶的逻辑原理。如，从牛、马、羊等等的集合进阶，上升到“动物”这个更高的阶乘；从动物、植物、微生物的集合进阶，上升到更高的“生物”阶乘；从生物和非生物的集合进阶，上升到“物质”这个更高的阶乘，从物质、精神、非物质和非精神的集合进阶，上升到“实在”或“存在”的更高阶乘。这样的概念集合进阶的抽象运作，一方面，表明了集合是概念抽象运作的内在能动的逻辑必然；另一方面，揭示了每一集合的全体所在是以它的逻辑进阶为标识的，例如，“动物”是一切被称之为动物的对象，以及它的所有子集（牛、马、羊等子集）的全体所在的标识。这个全体所在是用“动物”这个语词符号来标识的，它和康托尔用符号ω 来标识无限集的意义是一样的。在概念方式原理上，“动物”是一切被称之为动物的对象的全体所在的标识，这样的标识的基础就是任何一个概念抽象都是有限之态的无限，内含着潜无限和实无限的统一。牛、马、羊、动物、生物、物质、实在、存在等等的概念指称，是它们各自对象集合的全体所在标志，它们各自集合全体的标志而不是各自集合中的一员。其根本原理是，任何一个集合进阶的全体所在的标志，在概念方式上是与这个集合中对象处在不同的概念阶乘上的。只有这样，我们才能地从概念逻辑的原理上，破解和扬弃罗素的集合逻辑悖论。此外，集合进阶的概念逻辑更告诉了我们，各种各样的有限集和无限集不仅有范围的大小之分，更有阶乘的高低之分。集合进阶不仅绽现集合之集合和集合之子集的细分，更绽现了个别集合和特殊集合、一般集合，根本集合的不同区分和互为关系。 有了无限是有限之态之无限的概念原理。我们就可以透彻地明了任何一个无限集都是可以从它的自身立足的有限之态的界限规定中获得它们各自的实无限的全体所在的映现的。这样，我们就可以进一步讨论无限集与有限集对应的逻辑关系。 第三，无限集与有限集对应的逻辑。 中国古代的《易经》以阴阳二爻的六十四卦为有限集，以此对应万千世界的无限事态的发生和涌现，就是一种有限集与无限集对应的逻辑运作。尽管这种逻辑的对应关系，即世事的无限集和卦象的有限集的一一对应在易经中是可以遂意编造解释，见风使舵的，但亦反映了一种对应的集合逻辑方式。 现代电子计算机技术的出现，通过1和0的二进制数码转换，系统软件和应用软件程序的各种有限集的运作架构和运作规范，用来处理无限多样的对象和创作。一切计算机程序在本质意义上，就是各种各样的有限集，如书写的、图形的、视频的、声音的、计算的、记忆的、智能的，以及层出不穷的各类作业模型的程序，在自身有限之态范围内所展开的无限对应的逻辑运作，并由此集成之集成更为庞大的计算机技术的强大功能。 集合逻辑中的集合对应，是逻辑学的一门非常有学问的功课，正在越来越成为人类概念抽象运作和概念创造的重要逻辑工具。 |
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