斯坦纳-雷米欧司定理

斯坦纳-雷米欧司定理

　　斯坦纳-雷米欧司定理:

　　两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形

　　设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于O 

BE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出： 

AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC 

注:"L"为角的符号

 

证明一：

　　已知：三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD

  

作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC

　　∵BE=DC

　　∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF

　　设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β

　　∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);

　　∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);

　　∴∠FBC=∠CEF

　　∵2α+2β<180°,∴α+β<90°

　　∴∠FBC=∠CEF>90°

　　∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.

　　设垂足分别为G、H;

　　∠HEF=∠CBG;

　　∵BC=EF,

　　∴Rt△CGB≌Rt△FHE

　　∴CG=FH,BG=HE

　　连接CF

　　∵CF=FC,FH=CG

　　∴Rt△CGF≌△FHC

　　∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD

　　∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB

　　∴∠ABC=∠ACB

　　∴AB=AC

　　证明二：

　　设二角的一半分别为α、β

　　sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,

　　∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0

　　→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0

　　→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0

　　→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0

　　，∴sin[(α-β)/2]=0

　　∴α=β,∴AB=AC.

　　证明三：

　　用张角定理：

　　2cosα/BE=1/BC+1/AB

　　2cosβ/CD=1/BC+1/AC

　　若α>β 可推出AB>AC矛盾！

　　若α<β 可推出AB<AC矛盾！

　　所以AB=AC

　　定理来源：

　　1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。等腰三角形的两底角平分线相等，初中生都会证明。但反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？我至今还没想出来。”此后，斯图姆又向许多数学家提出了这个问题，请求给出一个纯几何证明。一年多后，瑞士达几何学家斯坦纳（1796-1873）首次证明了它，于是，这个问题以“斯坦纳-雷米欧斯”定理而闻名于世。

　　后世发展：

　　斯坦纳的证明发表后，引起了数学界极大反响。论证这个定理的文章发表在1842年到1864年的几乎每一年的各种杂志上。后来，一家数学刊物公开征解，竟然收集并整理了60多种证法，编成一本书。直到1980年，美国《数学老师》月刊还登载了这个定理的研究现状，随后又收到了2000多封来信，增补了20多种证法并收到了一个最简单的直接证法。经过几代人的努力，100多年的研究，“斯坦纳-雷米欧斯”定理已成为数学百花园中最惹人喜爱的瑰丽花朵！

答案(1)

△ABC中，BD CE为角平分线，若BD=CE，求证：AB=AC
证明：（反证法）
 设AB＜AC，则∠ABC＞∠ACB，从而∠ABD＞∠ACE.在∠ABD内作∠DBF＝∠ACE，则在△FBC中，由∠FBC＞∠FCB得FB＜FC。
 在CF上取CH=BF，过H作HK‖BF交CE于K。
 在△BFD和△CHK中，BF=CH，∠BFD=∠CHK，∠FBD=∠HCK，故△BFD≌△CHK
所以BD=CK＜CE，与已知BD=CE矛盾。
又若AB＞AC，同理可得BD＞CE，也与BD=CE矛盾。
所以AB=AC

若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨.定理两内角平分线相等的三角形是等腰三角形.已知:如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:AB=AC.图1分析结合题目的条件,要证AB=AC,必先证∠ABC=∠ACB,又两角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等关系,仔细观察发现∠EBD与∠ECD所对的是同一条边DE,若转化在圆中就是两圆周角所对的公共弦,便可找出互相之间的联系,于是可以考虑B、E、C、D是否在同一个圆上,恰好用“同一法”可以解决这一点,问题就得到简化.证明过点B、D、C作⊙O交CE或其延长线于点H因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以CD=HD,HD=BH,所以CDH=BHD.所以CH=BD.因为BD=CE所以CH=CE,又