初中数学规律题解题基本方法

初中数学规律题解题基本方法

（一）数列的找规律

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2

（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。

分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：

［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n²-1

所以，第n位数是：2+ n²-1= n²+1

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是        。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号：  1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n²-1，第100项是100²-1。

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n²、n³,或2ⁿ、3ⁿ,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2

（三）看例题：

A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n³+1

B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关 即：2ⁿ

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

    0、3、8、15、24……，

序列号：1、2、3、4、5

分析观察可得，新数列的第n项为：n²-1，所以题中数列的第n项为：（n²-1）+2＝n²+1

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

1、            先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。

2、            如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律

3、            如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律

4、            最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题

四、【典型例题】

例1  观察下列算式：

……

用你所发现的规律写出的末位数字是__________。

 

例2    观察下列式子：

；；；……

    请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。

 

五、图形找规律

小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。

合作交流，探索规律：

活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形

   

  ⑴填写下表：

 

 ⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？

★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：

①      寻找数量关系；

②      用代数式表示规律

③      验证规律。

★练习：四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？五棱柱呢？十棱柱呢？n棱柱呢？

活动二：探索具体情景下事物的规律

问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？

 

问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子

 

⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐       人。

⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：

 

问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起

⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？

⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐    人。

⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐   人。

  

 活动三：探索图表的规律

下面是2000年八月份的日历：

 

⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？

⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？

⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？

⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。

⑸你还能提出那些问题？

4  图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

       

 

 

      

……

(1)将下表填写完整

图形编号	1	2	3	4	5	…
三角形个数	1	5	9			…

 

（2）在第n个图形中有____________________个三角形（用含n的式子表示）。

 

 

 

 

 

例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：

 

         

 

 

 

例7．把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是        

 

 

 

 

 

例8.观察下列图形并填表。

 

 

 

 

 

 

个数	1	2	3	4	5	6	7…
周长	5	8	11	14		…

 

六、巩固练习题

1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：

（1）第4个图案中有白色地面砖        块；

（2）第个图案中有白色地面砖         块。

 

                                                     ……

 

 

2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与之间的关系可以用式子         来表示。

 

 

 

                                                                   ……

 

 

3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。

①5，9，13，17，     ，     。

②4，5，7，11，19，     ，     。

③10，20，21，42，43，      ，     ，174，175。

④4，9，19，34，54，     ，     ，144。

⑤45，1，43，3，41，5，     ，     ，37，9。

⑥6，1，8，3，10，5，12，7，     ，     。

⑦0，1，1，2，3，5，     ，     。

⑧180，155，131，108，     ，     。

⑨5，15，45，135，     ，     。

⑩60，63，68，75，     ，     。

 

4．你能很快算出吗？

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10·+5,即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。

（1）  通过计算，控索规律：

可写成

可写成

可写成

可写成

…………

可写成               

可写成               

（2）  从第（1）的结果，归纳、推测得：            

（3）  根据上面的归纳、推测，请算出：                      

 

5．观察下列几个算式，找出规律：

1＋2＋1=4

1＋2＋3＋2＋1=9

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25

……

利用上面规律，请你迅速算出：

①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=                          

②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？

③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？

12．给出下列算式：，，，，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是                                。

 

6．研究下列算式，你会发现有什么规律？

；；；……

请将你找出的规律用公式表示出来：                            。

7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：

所表示的数：          。        

所表示的数：          。

8．因为，，

 

 

 

那么            。

 

 

9．将1，，，，，，…按一定规律排成下表：

试找出在第      行第      个数

 

 

 

 

 

 

 

10．如下图：

 

（1）                                      

 

（2）

                                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。

（1）  当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？

（2）  当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？

 

 

 

 

 

 

 

12．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。

 

 

13．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要        枚棋子，摆第n个图案需要        枚棋子．

 

 

【关键词】规律

 

 

 

 

 

 

14、（2010盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是

 

 

 

A．38               B．52                 C．66                D．74

关键词：数字排列规律 

15．（2010年门头沟区）如图，，过上到点的距离分别为 的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．

则第一个黑色梯形的面积          ；观察图中的规律，

第n(n为正整数)个黑色梯形的面积        ．

【关键词】规律题、梯形面积

16.（2010年山东省济南市）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在         点．

 

 

 

【关键词】点的移动

17、（2010年毕节地区）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要           根钢管．

 

 

 

 

 

【关键词】找规律

18、（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

四面体

长方体

正八面体

正十二面体

 

 

 

 

 

 

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体	4	7
长方体	8	6	12
正八面体		8	12
正十二面体	20	12	30

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。

（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。

【关键词】规律与探索

19、15．直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有    个点.

【关键词】点

 

20、  （2010年安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（      ）

A）495      B）497   C）501     D）503

【关键词】探索规律

21、（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b = n，

可以使：（a+c）⊕b= n+c，a⊕（b+c）=n－2c，

如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 =     ．

【关键词】阅读理解、探究规律

22、(2010重庆市)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）

A．图①     B．图②        C．图③         D．图④

解析：观察图形，可知每转动4次为一个循环，所以10÷4=2…2，即第10次旋转后得到图形是图②.　

24.（2010年四川省眉山市）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．

 

 

 

 

【关键词】规律与探索

 

25．（2010年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是(   ) .

A. 669       B. 670　     C.671       D. 672

【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索

26、 （2010江苏泰州，17，3分）观察等式：①，②，③…按照这种规律写出第n个等式：         ．

【答案】

      【关键词】规律归纳猜想

27、（2010山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P₀处，BP₀=2．跳蚤第一步从P₀跳到AC边的P₁（第1次落点）处，且CP₁= CP₀；第二步从P₁跳到AB边的P₂（第2次落点）处，且AP₂= AP₁；第三步从P₂跳到BC边的P₃（第3次落点）处，且BP₃= BP₂；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P_n（n为正整数），则点P₂₀₀₉与点P₂₀₁₀之间的距离为_________．

【关键词】寻找规律

 

 

 

 

一、数字规律类：

1、一组按规律排列的数：，，，，，…… 请你推断第9个数是              ．

2、已知下列等式： ① 1³＝1²；   ② 1³＋2³＝3²；  ③ 1³＋2³＋3³＝6²；

   ④ 1³＋2³＋3³＋4³＝10² ；…………由此规律知，第⑤个等式是                          ．第n个等式是                          ．

3、观察下列各式；①、1+1=1×2 ；②、2+2=2×3；   ③、3+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n表示出来                    。

4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9； ③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子                                          

5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是               。

6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。

第1行     1

                           第2行   －2　    3

                           第3行   －4　    5　    －6

                           第4行     7　   －8　     9　   －10

                           第5行     11    －12　    13　  －14　   15

                                ………………

7、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，…　将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于            ．

8． 有一列数：……，第9个数是            .

9．观察下列各式：

 ，，，，……

 将上面的规律用含有n的公式表示出来是                            .

10．观察下列各式：…，用n（自然数）把这个规律表示出来．

11．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……

　　这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n表示自然数，请用含有n的等式表示出来。

12  计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．

 

二、图形规律类：

13、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从 点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为             。

14、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴      根.

 

                                                                                                                              ……

 

 

15、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

    ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●  …………

  从第1个球起到第2005个球止，共有实心球          个．

16、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图形中，互不重叠的三角 形共有             个（用含的代数式表示）。

 

 

 

 

17、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．

（1）当n = 5时，共向外作出了          个小等边三角形

（2）当n = k时，共向外作出了               个小等边三角形（用含k的式子表示）．

18、观察图形，并完成下列表格：

序号	1	2	3	…	n
图形				…	(此空不填)
的   个数	8		24	…
的个数	1	4		…

 

19.研究下列等式，你会发现什么规律？

1×3+1=4=2²

2×4+1=9=3²

3×5+1=16=4²

4×6+1=25=5²

…

设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.

 

20．探索规律　可写成  , 可写成

　　        可写成 ,可写成

　　（1）把这个规律用含有n的式子写出来；

　　（2）计算95²．

　21．观察：

　　

　　…

　　计算：．

　22.　如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

　　（1）第4个图案中有白色地面砖__________块；

　　（2）第n个图案中有白色地面砖__________块．

 

24(岳阳04)．观察：，　　

…………

计算：＝　　　　　。

 

二，探索图形规律

25(浙江湖州05)．观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形。

 

 

 

 

 

 

 

 

26：(05山东泉州）下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了                   块石子．

 

 

 

27、探索题： 如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些等圆．

                                    

      

                                                              ˙˙˙

 

          （１）           （２）              （３）

①      请观察上图并填写下表

图形编号	（１）	（２）	（３）	（４）	（５）	（６）
圆的个数

②      你能试着表示出第n 个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第2008个图形中有多少个圆.

 

 

28 电话费与通话时间之间的关系如下表：

通话时间x(分)	电话费y(元)
1	0.3+0.6
2	0.6+0.6
3	0.9+0.6
4	1.2+0.6
5	1.5+0.6

(1)写出用通话时间x表示电话费y的公式：_________.

(2)并用你所列的公式求当通话时间x=100分钟时的费用：__________.

(3)小明家四月份电话费是96.6元，那么他家一共打了多长时间的电话：__________.

 

 

探索找规律习题集及中考题集

1.如图，都是由若干盆花组成的形如三角形的图案，则组成第个图案所需花盆的总数是___________________．  

                                                                    *                                                                                                                                  

                                      *                           *   *

                *                   *   *                       *   *   *

*   *               *   *   *                   *   *   *   *

2.观察正方形图案，每条边上有个圆点，每个图案中圆点总数式，按此推断与的关系式为        

 

 

 

 

 

3．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成，通过观察可以发现：

 

 

 

（1）第4个图形中火柴棒的根数是              ；（2）第个图形中火柴棒的根数是              ；

4．       ①               ②              ③

●●●         ●●●●●    ●●●●●●●

●               ●              ●

●               ●              ●

                           ●              ●

                                           ●

上面是用棋子摆成的“T”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要多少个棋子？第n个呢？

5．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到       条折痕．如果对折n次，可以得到            条折痕．

6．下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．

 

 

 

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了                   块石子．

7．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：

 

 

 

按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数______________

8．柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：

第一层有听罐头，

第二层有听罐头，

第三层有听罐头，

……

根据这堆罐头排列的规律，第（为正整数）层有         听罐头（用含的式子表示）．

 

9．按如下规律摆放三角形：

 

 

 

 

则第(4)堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为________________.

10．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依次规律，第5个图案中白色正方形的个数为                    ；第n个图案中白色正方形的个数为____________________。

 

 

 

 

11、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第n个图案中正方形的个数是                 

 

 

 

 

12．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：

 

 

 

 

（1）第4个图案中有白色纸片         张；（2）第n个图案中有白色纸片         张.

13．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，根据以上操作方法，请你填写下表：

操作次数N	1	2	3	4	5	…	N	…
正方形的个数	4	7	10			…		…

 

 

 

15．观察下列等式：;   ;    ;   ……………

这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于的等式表示出来：                

16.观察下列等式：;;;…………………

请你将猜想到的规律用自然数表示出来                      ；

17.观察下列各式：;;;…………………

请你将猜想到的规律用自然数表示出来：                         ；

18.树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）

年数a	高度h（单位：厘米）
1	115
2	130
3	145
4
…	……

(1)填出第4年树苗可能达到的高度；(2)请用含a的代数式表示高度h：____________

(3)用你得到的代数式求生长了10年后的树苗可能达到的高度。

19．已知：，，，…若（a、b为正整数），则a＋b＝            。

20．观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

 

 

 

 

 

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

 

21．阅读下列一段话，并解决后面的问题

观察下面一列数：1，2，4，8，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．

一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．

（1）       等比数列5，-15，45，的第4项是_________．

（2）       如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，，，所以，，，_________．

（3）       一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．

 

22.将，，，，，， ……按一定规律排成下表：

第一行                           

第二行                            

第三行                             

第四行                               

第五行                              

从表中可以看到，第4行中自左向右第3个数是，第5行中自左向右第4个数是，那么（1）是第______行中自左向右第________个数

 

（2）第12行中自左向右第11个数是_____________（3）第199行中自左向右第8个数是______________

23．如果依次用分别表示图(1)、(2)、(3)、(4)中三角形的个数，那么

；

如果按照，上述规律继续画图，那么与之间是：

，又.

 

 

猜想、探索规律型（提高）

一、选择题

1．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（    ）粒。

A、    B、   C、     D、

2．（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：；

第2个数：；

第3个数：；

……

第个数：．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（    ）

A．第10个数    B．第11个数    C．第12个数    D．第13个数

3．（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（    ）

A．           B．           C．           D．

4．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1

的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ）

A．13 = 3+10          B．25 = 9+16      C．36 = 15+21      D．49 = 18+31

二、填空题

1．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数.

2．(2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有         个小圆．

3．（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 ---__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．

4．（2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为          ．

5．（2009年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需            根火柴棒.

6．（2009年广州市）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________

７、（2009丽水市）如图，图①是一块边长为1，周长记为P₁的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为P_n，则P_n-P_n-1=   ▲   .

8、．（2009年益阳市）图8是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由         个基础图形组成．

-

 

 

 

9. 观察下表，回答问题：

序号	1	2	3	…
图形				…

 

 

 

 

 

 

第        个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．

10．（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有            个 ．

 

 

 

 

 

 

11．（2009年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是         ．

 

 

 

 

 

12．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有           个．

 

 

 

 

 

 

 

13． (2009年梅州市)如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有          个，第n幅图中共有           个．

 

 

 

 

 

14．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝         ． （用n的代数式表示）

15．观察：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为         ；第个单项式为        

16．观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k个数是            ．

17．一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_          _（n为正整数）．

18．观察下列等式：

；；；；……则第（是正整数）个等式为________.

19．（2009恩施市）观察数表

 

 

 

 

 

 

 

 

根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是____________．

20．（2009肇庆）15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝        ．（n为正整数）

21.(2009年牡丹江市)有一列数…，那么第7个数是        ．

22．（2009年广西南宁）正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字          ．

23．将正整数依次按下表规律排成四列，则根据规律，数2009应排的位置是第           行第           列．

	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	1	2	3
第2行		6	5	4
第3行	7	8	9
第4行		12	11	10
……

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．

25．（2009年台州市）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则

①      ；②第行第列的数为         （用，表示）．

	第列	第列	第列	…	第列
第行	1			…
第行				…
第行				…
	…	…	…	…	…

26．（2009白银市）29．本试卷第19题为：若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．

．

27、计算并观察下列每组算式：      ，      ，       ；

（2）已知25×25=625，那么24×26=           ；

（3）从以上的过程中，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？请用代数式把这个规律表示出来.                  

 

 

28、先观察图形，阅读相关文字后，再回答问题。

   两条直线相交，最多有1个交点；

三条直线相交，最多有3个交点；

四条直线相交，最多有6个交点；

……         ……

问题：10条直线相交，最多有几个交点？n条直线最多有几个交点？

29、观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是          个.

 

 

 

30、用同样规格的黑、白两色的正方形方块铺成如图3.1.1图，

用n的代数式表示出第n幅图中黑色正方形块数                     

白色正方形块数                     

 

 

31、一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_      _（n为正整数）．

猜想、探索规律型

一、选择题

1．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（    ）粒。

A、           B、           C、              D、

2．（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：；

第2个数：；

第3个数：；

……

第个数：．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（    ）

A．第10个数     B．第11个数    C．第12个数    D．第13个数

3．（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（    ）

A．             B．           C．           D．

4．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1

的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ）

A．13 = 3+10                                      B．25 = 9+16

C．36 = 15+21                                   D．49 = 18+31

二、填空题

1．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数.

2．(2009武汉)14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有         个小圆．

3．（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 ---__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．

4．（2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为          ．

5．（2009年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需            根火柴棒.

6．（2009年广州市）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________

７、（2009丽水市）如图，图①是一块边长为1，周长记为P₁的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为P_n，则P_n-P_n-1=   ▲   .

8、（2009年益阳市）图8是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由         个基础图形组成．

-

 

 

 

 

9. 观察下表，回答问题：

序号	1	2	3	…
图形				…

 

 

 

 

 

 

第        个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．

10．（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有            个 ．

 

 

 

 

 

 

11．（2009年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是         ．

 

 

 

 

 

12．(2009年抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有           个．

 

 

 

 

 

 

 

13． (2009年梅州市)如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有          个，第n幅图中共有           个．

 

 

 

 

 

14．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝  ★  ． （用n的代数式表示）

15．（2009年青海）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为         ；第个单项式为        

16．（2009年龙岩）观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k个数是            ．

17．（2009年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_▲_（n为正整数）．

18．（2009重庆綦江）观察下列等式：

；

；

；

…………

则第（是正整数）个等式为________.

19．（2009恩施市）观察数表

 

 

 

 

 

 

 

 

根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是____________．

20．（2009肇庆）15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝        ．（n为正整数）

21.(2009年牡丹江市)有一列数…，那么第7个数是        ．

22．（2009年广西南宁）正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字          ．

23．（2009年绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第           行第           列．

	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	1	2	3
第2行		6	5	4
第3行	7	8	9
第4行		12	11	10
……

24．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．

25．（2009年台州市）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则

①      ；②第行第列的数为         （用，表示）．

	第列	第列	第列	…	第列
第行	1			…
第行				…
第行				…
	…	…	…	…	…

26．（2009白银市）29．本试卷第19题为：若，，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．

．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1、【答案】10，（第一空2分，第二空3分；答给3分，答给2分

2、解：学生可能写出不同程度的一般的结论，由一般化程度不同得不同分．

若m、n是任意正整数，且m＞n，则．

若m、n是任意正实数，且m＞n，则．

若m、n、r是任意正整数，且m＞n；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且m＞n，观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．

则．

若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且m＞n；或m、n、r是任意正实数，且m＞n，则

探索规律练习题一

细心观察，巧妙发现！

班级：        学号：        姓名：          

1．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（    ）粒。

A、         B、         C、            D、

2．（2009年重庆）观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（    ）

A．          B．          C．          D．

3．(2009武汉)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有         个小圆．

4．（2009重庆綦江）观察下列等式：

；

；

；

…………

则第（是正整数）个等式为________.

5．(2009年牡丹江市)有一列数…，那么第7个数是        ．

6.（2009年娄底）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需            根火柴棒.

 

7．（2009恩施市）观察数表

 

 

 

 

 

 

 

 

 

根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是____________．

 

8．（2009年益阳市）图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由         个基础图形组成．

-

 

 

 

 

 

9．（2009年广州市）如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________

 

10．（2009肇庆）观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝        ．（n为正整数）

 

11.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有            个 ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.（2009年广西梧州）下图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝           ． （用n的代数式表示）

13．(2009年咸宁市)如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．

 

14．（2009年湖北荆州）将四张花纹面相同的扑克牌的花纹面都朝上，两张一叠放成两堆不变．若每次可任选一堆的最上面的一张翻看（看后不放回），并全部看完，则共有        种不同的翻牌方式．

15．（2009年山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为          ．

16.（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 ---__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．

 

 

17．观察下表，回答问题：

序号	1	2	3	…
图形				…

 

 

 

 

 

 

 

第        个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．

 

18．（2009年绵阳市）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第           行第           列．

	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	1	2	3
第2行		6	5	4
第3行	7	8	9
第4行		12	11	10
……

 

 

 

探索规律练习题二

班级：        学号：        姓名：        

 

1．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图1中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（    ）

A．13 = 3+10                                  B．25 = 9+16

C．36 = 15+21                                                           D．49 = 18+31

2.（2009年广西钦州）一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_        _（n为正整数）．

 

3.(2009成都)已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______．(用含n的代数式表示)

 

4．（2009年广西南宁）正整数按图2的规律排列．请写出第20行，第21列的数字          ．

 

5．（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A₁B₁C₁D₁，然后再以矩形A₁B₁C₁D₁的中点为顶点作菱形A₂B₂C₂D₂，……，如此下去，得到四边形A₂₀₀₉B₂₀₀₉C₂₀₀₉D₂₀₀₉的面积用含 的代数式表示为              ．

 

6．（2009年青海）观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为         ；第个单项式为         .

 

7．（2009年台州市）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则

①      ；②第行第列的数为         （用，表示）．

	第列	第列	第列	…	第列
第行	1			…
第行				…
第行				…
…	…	…	…	…	…

8.（2009丽水市）如图，图①是一块边长为1，周长记为P₁的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为P_n，则P_n-P_n-1=      .

9．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数。