揭秘 0.1 0.2 != 0.3

链接：http://www./blog/2016/09/28/ieee754-operation-in-js/（点击尾部阅读原文前往）

“0.1 + 0.2 = ?”，这道题如果给小学生，他会立马告诉你答案是 0.3，但是交给一些程序去计算，结果就不是那么简单了。

事实上，不仅仅是 JavaScript，在其他采用 IEEE754 浮点数标准的语言中，0.1 + 0.2 都不会等于 0.3，但是 0.2 + 0.3 却等于 0.5，这是为何？想必这类问题也困扰着不少程序员。

IEEE754 浮点数的演算

我们知道，科学计数法中 30000 可以写成 3x10⁴，以 10 为底数 4 为指数的科学计数法。在 IEEE754 标准中是比较类似的，只不过它是二进制数，底数也为 2。

IEEE 754 中最常用的浮点数值表示法是：单精确度（32位）和双精确度（64位），JavaScript 采用的是后者。举个例子，十进制数 150，使用双精度浮点数表示法，表示如下：

// D 表示十进制，B 表示二进制 150D = 2^8 * 0.1001011B // 后面省略了 46 个 0

可以通过短除法计算：

150   余数位 ÷    2 ---------------    75     0   ÷    2 ---------------    37     1 ÷    2 ---------------    18     1 ÷    2 ---------------     9     0 ÷    2 ---------------     4     1 ÷    2 ---------------     2     0 ÷    2 ---------------     1     0 ÷    2 ---------------     0     1

最后一个余数为高位值，于是拿到 150 对应的二进制数位 1001011，也就等于2^8 * 0.1001011。

上面是整数的表示法，而小数的表示法采用的是乘二取整，如 0.1，它的二进制表示为：

// (0011) 表示循环 0.1D = 2^-3 * 0.110011(0011)

其演算方法如下：

0.1   整数位 ×     2 ---------------    0.2     0 ×     2 ---------------    0.4     0   * ↓ ×     2 ---------------    0.8     0 ×     2 ---------------    1.6     1 ×     2 ---------------    1.2     1 ×     2 ---------------    0.4     0   * ↑             (0011循环)

与整数不同的是，第一个计算得到的整数位为最高位，故 0.1 对应的二进制数为0.000110011(0011)，也就等于2^-3 0.1100110011(0011)。

如果一个数既包含整数部分，又包含小数部分，其表示法的计算，需要分拆为整数和小数两部分，然后相加得到结果。

IEEE754 浮点数精度丢失

IEEE754 浮点数表示法的数据格式如下图：

// 下图采用大端表示，高位在左，低位在右。 sign  exponent         fraction +---+----------+---------------------+ | 1 |   2~12   |         13~64       | +---+----------+---------------------+

• 符号位：高位第 1 位，如图 sign 部分

• 指数位：高位第 2~12 位，如图 exponent 部分

• 尾数位：剩下的 fraction 部分

从上面小数的乘二取整演算中可以看到，有些小数对应的二进制数是无法写全的，比如 0.1，而 fraction 尾数部分有要求，只允许 52 位，超过部分进一舍零。

那么，我们就可以得到：

0.1D = 2^-4 * 1.10011(0011)B = 2^-4 * 1.10011(0011 repeat 12 times)0011B // ← 最后一位为 1，进 1 = 2^-4 * 1.10011(0011 repeat 12 times)010B

揭秘 0.1 + 0.2

根据上面我们了解到的知识，我们可以很容易算出这些值：

0.1D = 2^-4 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B 0.2D = 2^-3 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B 0.3D = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011B

0.1 + 0.2 时，先将两者指数统一为 -3，故 0.1 小数点向左移一位，于是：

0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101B +  1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B ------------------------------------------------------------ = 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111B

得到的二进制数为：

10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111B

小数点往左移一位使得整数部分为 1，此时尾数部分为 53 位，进一舍零，于是得到最后的值是：

2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100

这个值转化成真值，结果为：0.30000000000000004。那么0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004 的推演到这里就结束了。

最后

为了按照计算机的思维，IEEE754 的标准来计算 0.1 + 0.2，又重新复习了一遍大学计算机基础的知识，原码、反码、补码，以及除二取余、乘二取整计算法，最后能够推演出来，也算是一个胜利吧~

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