2016年北京大学自主招生数学试题(回忆版)

一、选择题．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知，则的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．前三个答案都不对

2．的个位数字是（　　）

A．

B．

C．

D．前三个答案都不对

3．点位于所在的平面内，使得的面积相等，则满足题意的点有（　　）

A．个

B．个

C．个

D．前三个答案都不对

4．记为最接近的整数，其中．若，则正整数的值为（　　）

A．

B．

C．

D．前三个答案都不对

5．实数满足，，则（　　）

A．

B．

C．

D．前三个答案都不对

6．方程组的非负整数解有（　　）

A．组

B．组

C．组

D．前三个答案都不对

7．个半径为的球两两外切，则这个球的外切正四面体的棱长为（　　）

A．

B．

C．

D．前三个答案都不对

8．将分成三组，使得第一组数的和为的倍数，第二组数的和为的倍数，第三组和为的倍数．则不同的分法共有（　　）

A．种

B．种

C．种

D．前三个答案都不对

二、填空题．

9．已知，为整系数多项式，则的各项系数之和为_______．

10．张扑克牌排成一列．先去掉第一张，将第二张放到最后；再去掉第三张，将第四张放到最后……以此类推，则最后剩下的那张牌是原先的第_______张．

11．用高斯函数表示不超过实数的最大整数，则方程的正整数解有_______个．

12．空间中的一点满足，使得成立，则所有满足要求的点所形成的空间几何体的体积为_______．

---

参考答案与解析

1．B．

根据题意，有，，于是是第二象限的角．

2．C．

因为，且对于任意正整数，都有为奇数，所以

3．D．

考虑到平面内使和的面积相等的点的轨迹为直线以及过点且与平行的直线，其中为边的中点，因此满足题意的点有个：的重心，或者由四点所构成的平行四边形的顶点．4．B．

若，则所以进而有
故．

5．A．

由于于是所求代数式的值为

6．B．

根据题意，有
当时，；当时，当时，有
于是题中方程组的非负整数解共有组．

7．C．

棱长为的正四面体的内切球半径为．设个半径为的球的球心分别为，则正四面体的棱长为，故其内切球半径为．设这个球的外切正四面体为，则正四面体的内切球半径为，故正四面体的棱长为．

8．D．

假设这样的分法存在，设三组数的和分别为，，则
即于是
因此．而此时矛盾．故不存在满足题意的分法．

9．．

易知为二次多项式，设，则
对比系数，依次解得，，，．故的各项系数之和为．

10．．

每一轮剩下的牌依次是
11．．

因为所以．于是原方程等价于即解得，所以原方程的正整数解有组．

12．．

考虑第一卦限，只需要即可．因此所有满足要求的点所形成的空间几何体为一个长方体，体积为