矩阵快速幂总结

imelee 2016-12-28

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基础知识：(会基础的直接看应用部分)

(1)矩阵乘法

简单的说矩阵就是二维数组，数存在里面，矩阵乘法的规则:A*B=C

其中c[i][j]为A的第i行与B的第j列对应乘积的和，即:

代码:

const int N=100;
int c[N][N];
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
{
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}

另一种写法:

int c[N][N];
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
{
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
}

这种可以在第二重for判断if(a[i][k]==0)continue;对于矩阵有较多0的有一定效果。不过一般第一种写法就够了，这种知道就行。

显然矩阵乘法的复杂度是O(n^3);（O(n^2.7)的方法不会写，无视这里）。

这里我直接写的是n*n的矩阵(即方阵)，显然两个相乘是要一行和一列对应乘，那么矩阵乘法是需要A的行数与B的列数相等的(这是A*B的前提条件，可见矩阵的乘法是不满足交换律的)。然而这些一般都是没什么用的，矩阵快速幂只会用到方阵(除非题目是裸的矩阵乘法)。矩阵快速幂都是方阵也就避免的相乘的前提条件，可以放心用。

(1)矩阵快速幂

就是算A^n;方法很简单，把快速幂算法中的乘法改成矩阵的乘法就可以了

代码:

const int N=10;
int tmp[N][N];
void multi(int a[][N],int b[][N],int n)
{
    memset(tmp,0,sizeof tmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        tmp[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        a[i][j]=tmp[i][j];
}
int res[N][N];
void Pow(int a[][N],int n)
{
    memset(res,0,sizeof res);
    for(int i=1;i<=n;i++) res[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            multi(res,a,n);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
        multi(a,a,n);//a=a*a
        n>>=1;
    }
}

这代码看看就好，我的写法一般人不是很喜欢看，网上有很多种写法，比如用结构体存矩阵什么的，模板建议还是自己写的好，自己怎么写顺溜就怎么写呗，弄清楚原理就好。

不过上诉res数组就等同于普通快速幂初始化的1，原理想通的，这个矩阵叫单位矩阵E,性质就是E*A=A,就是1*a=a，一样，单位矩阵就是对角线全是1其他全是0；

最终算出的结果是一个res矩阵，具体有什么用就看下面的应用。

应用篇

主要通过把数放到矩阵的不同位置，然后把普通递推式变成"矩阵的等比数列"，最后快速幂求解递推式:

先通过入门的题目来讲应用矩阵快速幂的套路(会这题的也可以看一下套路)：

例一:http:///problem?id=3070
题目：斐波那契数列f(n),给一个n，求f(n)%10000,n<=1e9;

(这题是可以用fibo的循环节去做的，不过这里不讲，反正是水题)

矩阵快速幂是用来求解递推式的，所以第一步先要列出递推式:

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩阵递推式，找到转移矩阵:

,简写成T * A(n-1)=A(n)，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而

这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般An与A(n-1)都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个An,主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把A(n-1)转移到A(n);然后这就是个等比数列，直接写出通项:此处A1叫初始矩阵。所以用一下矩阵快速幂然后乘上初始矩阵就能得到An,这里An就两个元素(两个位置)，根据自己设置的A(n)对应位置就是对应的值，按照上面矩阵快速幂写法，res[1][1]=f(n)就是我们要求的。

给一些简单的递推式
1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）

继续例题二：poj3233

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given

这题就是求一个矩阵的和式:S(k),直接对和式建立递推：

建立矩阵,注意此处S和A都是2*2的矩阵，E表示单位矩阵,O表示零矩阵(全是0,与其他矩阵相乘都为0),显然E,O都是2*2的

这里转移矩阵是4*4.OVER

一般这种题目都是要找递推式，这是难点.

例三：HDU2276

题意就是说n个灯排成环i号灯的左边是i-1号，1的左边是n号，给定初始灯的开闭状态(用1,0表示)，然后每一秒都操作都是对于每个灯i，如果它左边的灯是开的就把i状态反转(0变1,1变0)，问m秒都最终状态是什么,m<=1e8,n<=100;

这题的递推式没有明说，但是每一秒操作一次其实就是一次递推，那么关键就是要找转移矩阵，而且比较是常数矩阵，这个才能用等比的性质

我们把n个灯的状态看出一个F(n),其实就是一个n*1的01矩阵,然后考虑从上一秒的状态F(n-1)如何转移到F(n)。既然每个状态都要转移，总共n个状态，可以看出转移矩阵就是一个n*n的矩阵(每一个灯的状态都用一个1*n的矩阵来转移)

先考虑第一个灯：影响它新状态的只有它左右的灯和它自己的状态，仔细想一下，1*n的转移中只有这两位置有用，那么其他都是0，就这样

这里state2到staten-1都被0干掉了，只有第一个和1号左边的灯有效

（这里不具体讲了，只有0,1的状态，自己枚举一下state1和state2,矩阵相乘后都是能正确转移的）

其他灯的考虑都是一样的，最终：

OVER

例四：HDU 5015
题意就是一个矩阵a,第一行依次是0,233,2333,23333......，给出矩阵的递推式：a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]，输入的是第零列，求a[n][m]，n ≤ 10,m ≤ 109
解：n很小，m很大，m大概就是作为幂次，以每一列为一个矩阵A(n-1)并且向下一列A(n)转移，那么关键就是找转移矩阵了：
先看第一行的数233后面每次都添一个3,显然递推关系就是A(n-1)*10+3=A(n)，这里多一个3，必须把列数新增一个元素3，也就是一个（n+1）*1的矩阵A(n).
然后其他的元素转移会出现一个问题，a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];这里a[i-1][j]依旧是新一列的元素，这是不能矩阵转移的，因为矩阵转移必须从旧的矩阵状态A(n-1)变到新状态A(n)。
那么这里a[i-1][j]就用递归思想，沿用上一行的转移矩阵(上一行能转移出a[i-1][j]),再加上新增的转移：

OVER

当然矩阵还有很多奇葩的递推，比如这矩阵优化的dp题。

推荐一些题目：

简单的：

http://acm./showproblem.php?pid=1757

http://acm./showproblem.php?pid=1575

不简单的：

http://acm./showproblem.php?pid=3483

http://acm./showproblem.php?pid=2855

http://acm./showproblem.php?pid=3658

http://acm./showproblem.php?pid=4565