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所谓函数正交也就是具备这样一组性质的函数序列g，他们之间两两的内积是0。 这样一来的好处就是，定义在同一域中的函数f总能表达成这一组函数序列g乘以一些系数的和，而且g每一个函数前的系数是唯一确定的。 为了保证唯一性，他们必须正交。为了保证任意函数f都能被如此表达，这一组函数序列g必须是完全的。 这种系数在不同的场合有不同的含义。比如傅立叶变换就是这么一组函数正交的序列g＝e^ikx，这些系数就是傅立叶系数。 我们应该明白： 1.向量 u=(a, b) 和 v=(c, d) 的内积 u·v 可以用 ac+bd 来计算； 2.如果内积 u·v =0，意味着 u 和 v 两个向量正交（垂直），例如 (0,1) 和 (1,0) 就是正交的。 3.两个向量如果正交，那么说明其中的任意一个向量都完全没有另外一个向量的分量。 首先来考虑把「内积」的概念推广，对于实变函数 f(x) 和 g(x)，假如可以有这样的两个向量： （1）对应于函数 f(x) 的 u = (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ..., f(N))； （2）对应于函数 g(x) 的 v = (g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), ..., g(N))； 让这两个 N+1 维向量内积一下，于是我们可得：u·v =f(0)g(0)×1 + f(1)g(1)×1 + f(2)g(2)×1 + ... + f(N)g(N)×1 相信如果对数学还有点微弱感觉的话，应该会发现，这种求和的形式，如果过渡到连续的情况下，就可以变成一个积分，之所以我特地画蛇添足地每一项都乘以1，是为了过渡到积分的时候方便，这个 1 就像在做数值积分，计算矩形面积的时候的那个矩形的宽度（bin width）。 这样来看，函数 f 和 g 在区间 [L, R] 上正交，对于无比喜欢数学和求和的人来说，就可以认为是把这个函数在 [L, R] 上均匀撒上很多个点，这很多个点所构成的两个向量近似彼此垂直。 在这个定义的基础上，沿着以下几个方向再扩展一下，应该就能比较好的理解了： （1）从实变函数过渡到复变函数。此时引入了一个函数的共轭，如果没有这个「共轭」，内积就不能保证为实数，更实际一点，就没法定义出一个向量的长度来 （|z|^2=z* z）。关于这一点，想象一个行向量与列向量的矩阵乘法，总得有一个要转置（如果还有复数那就还得取共轭）。「共轭转置」操作在矩阵里面叫做埃尔米特伴随，量子力学里面常用的可测量量的算子都是 Hermite 共轭算子，即共轭转置后等于自己，因而本征值为实数。 （2）推广到高维，例如量子力学里面见到的电子波函数。 （3）在两个向量的内积中间，引入一个度规矩阵，即将向量 u 和 v 的内积定义为：<u,v>=u* M v。在两个向量的乘法中间引入一个矩阵，这个矩阵可以理解成空间的弯曲。接着，再考虑在加上了这样一个弯曲的空间中的内积怎样过渡到两个函数的内积。正交条目中的「权函数」就是这个意思。 （4）「内积」的真·定义。请参考 内积空间 中的有关解释，并且可以结合「范数」「Cauchy-Schwarz 不等式」等内容，理解抽象内积空间中的「距离」「夹角」等内容。 还有一个需要注意的小细节：真正意义上，「正交性」跟线性表示的「唯一性」二者之间没有直接关系。给定一组显然不正交的基，例如 (1, 0) 和 (1, 1) ，要求用这两个向量来表示另一个向量，例如 (2, 3)，这种表示依然是唯一的。事实上，这里我们只需要「不平行」（线性无关）的一组基就可以了。我们热爱正交组，只是因为按照正交组展开有它独特的优越性。因为我们热爱正交性，因此即使是只是一组线性无关的向量，我们也总希望通过某种方案（正交化），让他们变成两两正交的向量组。
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