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1、特征值应用-马尔科夫矩阵 矩阵A是一个常见的马尔科夫矩阵， 
之所以称为马尔科夫矩阵，因满足两条性质： a.每个元素大于等于0；马尔科夫矩阵和概率思想有关联，概率值是非负的； b.每列之和是1； 这里，我们重点关注的是矩阵的特征值和特征向量，而稳态问题（参考上一讲）实际就是特征值和特征向量问题。对于uk=A^(k)u0问题，相当于矩阵A的幂作用于向量u0，此时通解是，那么对于A的k次幂作用于向量u0，若结果趋向于稳态，则特征值λ1为1，并且其他特征值绝对值小于1，随着时间发展将趋近于稳态，即趋向于u0的x1部分。上面示例每列之和等于1保证了1为特征值：这个马尔科夫矩阵已经平移一个单位矩阵，如果A-I是奇异的，那就说明1是特征；此时A-I每列加起来和为0，能否说明A-I是奇异的，显然行向量线性相关，所以一定是奇异的。假设研究加州和麻省两地人口数，则t=k时刻与t=k+1时刻，假设每次变动的概率一样，即马尔科夫矩阵恒定，那么，结合马尔科夫矩阵性质和通解，该结果是否趋向于稳态。假设初始状态[ucal umass]=[0 1000]，在进行100次迁移后，人口分配怎样？此时需要特征值和特征向量。显然λ1=1，λ2=0.7，那么λ1对应特征向量[2,1],λ2对应特征向量[1 -1]。然后代入u0，求得c1和c2，c1=1000/3，c2=-2000/3
很多实际问题中习惯使用行向量，而所有的特征向量都是列向量，因此马尔科夫矩阵中列向量的和为1，此时可通过转置转化成行向量之和为1.首先，讨论下带有标准正交基的投影问题，基向量为q1......qn，给定向量b，假设这是一组基，是nxn的n个标准正交向量，它们是n维空间一组完整基，任意向量v都能由这组基构成，即v是基向量的某种组合， 其中，各个系数相当于向量v在该分量上投影，可以根据投影矩阵计算，求x1，等式两边乘以q1转置，利用正交性质，快速求出x1，其他同理。因此，有一组标准正交基时，每个基向量的系数将非常容易求得，可以采用矩阵形式表达，即因为Q是标准正交向量基，它的逆就是其转置。这里的关键是q是标准正交的，这是傅里叶级数建立的基础，接下来我们进一步说下傅里叶级数。该问题与上面的投影问题相比，该函数是无穷维的，但依旧正交。傅里叶级数可以作用在函数空间上，可以用函数f(x)来代替向量v，可以用正交函数来代替正交向量q1...qn，它的基是1、cosx、sinx、cos2x、sin2x等等，而傅里叶级数成立的原因是它们是正交的，函数的点积等于0，给定两个函数f和g，函数的点积是指对一些列x（本例是周期函数0-2pi），f(x)g(x)求和，即因此，根据函数内积定义可知，基向量正交，现在有了函数空间的无穷正交基，接下来把函数展开到基上，即确定各项的系数，例如，计算a1，参照向量形式，每一项都和cosx取内积，
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