2010年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题 (本题共 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目 要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. )
. .
仅与 的取值有关. 仅与 的取值有关. 与 的取值都有关. 与 的取值都无关.
秩 , 秩 . 秩 , 秩 . 秩 , 秩 . 秩 , 秩 .
)
0
. . . . 二、填空题 (本题共 6 小题,每小题 4 分, 共 24 分, 把答案填在题中横线上. )
三、解答题 (本题共 9 小题, 共 94 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
解析一、选择题解： 求 , 归结为求 因此 . 故应选 C. 解： 因为 由方程 确定, 则对 求偏导数得 所以 则 . 解： 显然广义积分 有两个瑕点 与 , 则 对于 , 瑕点为 , 设 , 由于 , 故收敛. 设 存在, 故此时不是反常积分. 设 存在, 又 , 故收敛. 对于 , 瑕点为 , 当 为正整数时, 故收敛. 所以, 不论 取何正整数, 反常积分都收玫.故选 D. 解： 解: 由于 为 矩阵, 为 矩阵, 故 . 又 , 于是 , 所以 . 解: 设 是 的特征值. 由于 , 所以 , 即 , 故 的特征值为 -1 或 0. 又 为实对称矩阵,所以 可相似于对角阵 . 且 , 于是 . 解: 解: 由于 故 故应选. 二、填空题解: 由题设条件 , 则 , 从而 , 故应填 0 . 解: 解: ,由格林公式知解: 由题设所求坐标为 其中积分区域 用平面 截积分区域 得截面 且 是一圆域: . 于是 解: 由于 生成的向量空间的维数为 2 , 所以 . 对矩阵 进行初等行变换: 所以 . 故应填 6 . 解: 因为 , 故 即得 . 所以 则 三、解答题解: 由题设知, 齐次方程对应的特征方程为 , 解得特征根为: . 于是齐次方程 似通解是: 是任意常数). 由条件知原方程的一个特解可设为: , (其中 为待定系数). 则 将 代人原方程并整理得 比较等式两端 同次幂的系数得 于是特解 . 故原方程通解为 (其中 是任意常数). 解: 由 则 则所以 是极大值, 是极小值. 故 的单调递减区间为 , 的单调递增区间为 . 解: 当 时, , 故当 时, , 所以 所以 由 知 , 而 又由于 , 根据夹逼准则知, . 解: 记 , 因为 所以由比值法知, 当 即 时, 级数收敛; 当 即 时, 级数发散. 于是可知幂级数的收敛半径 , 即收敛区间为 ; 当 时,级数 为交错级数, 由莱布尼茨定理知级数收敛, 故幂级数 的收敛域为 . 记 为级数 的和函数, 则 其中 由幂级数和函数的性质得 所以 解: 令 , 则 为椭球面 的方程, 设点 的坐标为 , 由题设条件知曲面 在点 处的切平面法向量为: 又 平面的法向量为: , 由于点 处的切平面垂直于 平面, 于是 , 即 . 又因为点 在曲面 上, 所以点 的坐标 满足曲面 的方程: 1. 从而知动点 的轨迹 的方程为 (2) 根据题设条件知, 曲面积分 中积分曲面 是椭球面 位于平面 上 方的部分, 因此在 上: , 于是 , 即 在曲面 的方程: 两端分别对 求偏导数 (此时, ) 得 将曲面 向 面投影, 得投影域为: 又因为 解 已知 有 2 个不同的解, 所以 . 又 , 即 或 当 时, , 此时 无解, 故 又由 得 . 因 则原方程组的等价方程组为 , 其中 为自由末知量. 令 , 得方程组特解 . 又方程组对应的齐次方程组的等价方程组为 , 其中 为自由末知量. 令 , 得齐次方程组 的基础解系 . 所以 的通解为 , 其中 为任意常数. 解 解 (I)由于二次型在正交变换 下的标准形为 , 所以 的特征值为 由于 的第 3 列为 , 所以 对应于 的特征向量为 . 由于 是实对称矩阵, 所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于 的特征向量为 , 则 , 即 , 取 则 与 是正交的, 即为对应于 的特征向量. 由于 是相互正交的, 所以只需单位化: 取 , 从而 由于 的特征值为 , 所以 的特征值为 , 则 的特征值全大于零 故 是正定矩阵. 解 因为 由概率密度的性质得到 故 . 从而 又 解 因为 所以 由 是 的无偏估计量, 可知 , 则 故 |
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来自： 当以读书通世事 > 《073-数学（大中小学）》
