做数学题最郁闷的,大概就是会做的题目,辛辛苦苦算完了,结果答案错了。 家长们最郁闷的,大概就是明明可以考100分,结果“粗心大意”,总要扣掉几分。到了下次考试之前,忍不住要反复叮嘱,一定要仔细啊,一定要检查啊。等到成绩一出来,又丢分在了“粗心大意”。 检查这种事情,说起来容易,做起来难。自己写的文章,盯着看几遍都看不出里面的错别字。因为我们的大脑,在看熟悉的东西时,能自动把里面的错误过滤掉。就像这句话,你读起来没有一点碍障,即使面里有不少错误。 波利亚在《怎样解题》里,讲了检查答案的三种方法: 一、量纲检验 听起来很玄,其实意思很简单,就是检查答案的单位。 之前我们举过这样一道题目:
(本题可以把四面体补全成立方体再计算) 我们就可以用量纲检验来检查答案。比方说,算出来的答案是: 边长a的单位是长度单位,假定是米,那么表面积的单位就是平方米。而答案的单位是立方米,所以,这个答案显然不对。 老师们总是叫学生们要带上单位计算,也有一部分是这个目的。单位正确了,答案才有可能正确。 二、特殊化 我们之前讲过,可以用一个特殊的例子来帮助找出问题的思路,同样的方法也可以用来检查答案是不是正确。 举个例子,在《比例问题(五):算错了?那是因为没掌握好运算法则和验算方法》这一期的时候,我们讲到了这样一道题目:
当时我们是这么算的: 甲、乙、丙三个梯形的面积比就等于,(6+12)×1÷2:(9+15)×2÷2:(4+10)×3÷2=6:8:7 甲梯形面积为30平方厘米,所以乙梯形面积等于30÷6×8=40平方厘米,丙梯形面积等于30÷6×7=35平方厘米,乙丙两个梯形的面积之和为75平方厘米。 这个答案对不对呢?我们来一个特殊的例子来验算一下。 我们假设甲梯形的上底为6厘米、下底为12厘米,这样假设是为了下面计算简便。根据甲梯形的面积可求出甲梯形的高为30÷(6+12)×2=10/3厘米。 根据比例关系,乙梯形的上底为9厘米,下底为15厘米,高为20/3厘米,乙梯形的面积为(9+15)×20/3÷2=80平方厘米;同理算得,丙梯形的面积为(4+10)×10÷2=70平方厘米。 乙丙两梯形面积和为150平方厘米,和我们前面计算的答案不相等! 这样,我们就发现了前面计算的结果是不正确的,还知道了正确的答案可能是什么。 三、交叉检查 波利亚在书中的原意,是用两种不同的方法得出同一个结果。为了突出两种方法的差异,我把它改称交叉检查。就好象一个汇总报表,如果从横向和纵向两个方向都能得出相同的总数,那么计算错误的可能性就要小得多。 老师们经常让学生在做完题目之后,把答案代入题目中检查一下,这也是交叉检查的一种方法。 前面的一期中,我们举过这样一个例子:
当时我们的解法是把这个问题当作一个路程问题。时针的速度是每小时1/12圈,分针的速度是每小时1圈,时针领先分针5/12圈,所以算得: 我们检查时,可以换一种方法,去计算分针和时针此时的角度。 时针和正上方(12点钟方向)之间的夹角等于: 分针和12点钟方向的夹角等于: 两个角度相等,所以答案正确。如果我们用了两种不同的方法得出了相同的结果,那么我们对这个答案就可以比较放心了。 总之,和想出一个思路来比较,验证一个答案是不是正确,总是要简单一些。 如果你看完文章后忘得差不多了,那么至少带走下面两点:一、要有检查的意识,不能做完题就完了。二、考虑到检查要花的时间,检查实际上是个成本—收益的问题,要会使用一些高效的方法。 不过,我们讲做完题目要总结回顾,最主要的原因还不是为了找错误。而是不管在什么情况下,回顾做过的题目,总是会有一些收获。下一期,我们就专门来讲这点。 更多关于波利亚《怎样解题》的文章,请看:订阅微信公众号【怎样学数学】查看。微信搜索【howtolearnmath】或识别下方二维码,即可关注。 |
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