总体说明原计划面向幼升小的孩子，提供数学八节课、语文八节课（每节课1小时左右），作为一个短期启蒙。实际安排了五次课程，本次做一个总结。 在启蒙的核心目标上，数学语文分别如下：
孩子共分为三个年龄段：4-5岁 2人，5-6岁 1人，6岁左右2人。
就数学而言，五岁之前的孩子可以熟练创造和掌握累积式记数法，但不能创造（抽象）简单分群数系。六岁的孩子可以创造简单分群数系，并能够接近创造乘法分群数系，但创造定位数系有困难。对于10以内的分与合，所有孩子都能掌握，但五岁之前的孩子不能有序思考拆分的种类数，六岁的孩子可以有序思考拆分种类数。 就语文而言，男孩的兴致不大，勉强可以做甲骨文画画。女孩兴趣相对大一些，除画画之外，可以投入听故事，女孩都在五岁上下，对于简单信息抽取的问题都可以解答，对于需要概括的问题可以部分解答，在表达自我上需要鼓励。
就发现式建构学习而言，如果我们不灌输讲解小学1-20加减法及应用，孩子们的发现能力已初步到达极限。后面可以回归家庭去练习。所以五次课之后这一轮启蒙结束，最后重点把本文档的思路、收获和建议当面讲解给家长，供家长后续指导孩子做参考。 数学启蒙计数数学启蒙从计数和创造计数符号开始。 计数也就是数数。孩子从很小就有了数量的概念，从“一二多”到“一二三多”，到“数数”数上去。数数也分两种，一种叫唱数，一种叫点数。唱数没有实物对象，孩子如背诵韵歌一样唱数上去，学前的孩子唱数到三十五十的往往没有问题。而点数，就是有实物，孩子用一一对应的方式，点数出物体的数量。 虽然孩子可以唱数到三十五十，但到了比较大的数字，孩子的数感还是比较弱的，他对这个数具体代表了多少以及如何参与运算，理解程度非常低，所以可能是一个记忆能力和初步韵感的一个结合的结果。点数涉及到物体数量和心理数量的一一对应操作及确认，最后应用出一个物体的实际结果，其实这是一个含有数量理解的操作性知识，也就是说，对孩子的要求更高。所以在生活中我们常常看到一个孩子可以唱数到很大的数字，但在点数时，给他二三十个物体，往往他经常会数错。 数量的概念，其实是孩子先天就会获得的，这是人类的能力。我们的孩子在学前都已经发展出初步的数量概念，这是他与生俱来的。但对于数量的记录，却不是我们孩子先天就具备的。数量的记录，记数法，是人类漫长数学发展过程中创造出来的，孩子们一开始“正经”学数学，在大家的印象中，也就是从“1、2、3……”阿拉伯数字开始。 现在几乎所有幼儿园——不管是公立还是新式幼儿园，孩子们都会接触到阿拉伯数字的书写。比如我们家上的是一个新式幼儿园，但孩子在蒙氏数学课上，就会做一些“1-100的数字连线”游戏，从1到100顺序连下来，就会完成一幅画，可能是一个动物什么的。但我们家孩子有的时候会把“11”念作“1、1”。如我们一开始所说，现在的十进制定位数系——阿拉伯数字其实是一个比较复杂的数学概念，幼儿并不能有效的理解它。即使在小学一二年级两个学年，孩子们还需要通过大量的进退位的运算练习来内化十进制定位数系的概念；而在小学之初，一年级孩子接触“11”的时候，基本上都是采取形象类比的方法，十个小棍一梱，当作十位上的1，剩余一个小棍当作个位上的1，用这种办法来教授（而不是发现）的。 所以毫无疑问，所有这些孩子在接触数学记数法的时候，都是教授的、记忆的以及类比的学习过程。
如我们一开始所说，我期望我们的孩子学习数学的过程，是发现式建构的，是深度理解的，是同时在锻炼孩子的创造性的——在这个过程中形成孩子的数学素养和思维，并接触到和高等数学一致的基础数学体系。 所以我们从计数（点数）和记数符号创造开始。 计数1-10在最一开始，孩子进行玩水的活动，并通过玩水和留下手印的方式，注意到我们的双手是我们最自然的计数方法。其实孩子们确实在早期经过很长一段时间的数手指，这就是自带的数数工具。 在孩子通过引导发现了“手指数”的事实后，他们就可以通过“手指数”来进行点数了。通过手指数来创造五进制或者十进制，都是非常好的基础（北京太冷不方便脱袜子，否则我们还可以用“手指脚趾数”）。 手指数就是一个天然的累积式记数法，和原始人刻骨计数是一样的，只不过我们现在有笔书写，所以可以不怕麻烦，而顾到形象。 下面是孩子们完成的作业： 其它都是数石子，用手指数来记录——这是一个典型的点数和一一对应的计数和记录过程。最后一张是一个故事情景的作业“巨人吃巧克力”，好心眼的巨人帮助了小女孩，为了感谢他，女孩给了巨人很多巧克力，数一数，记一记。
只要孩子足够认真，这样的点数问题对学前的孩子们而言一点都不困难。但如何做到不遗漏不多数，“嘴巴和手的动作要一个一个的一样快”，或者“点一个数一个”，等等这样的操作规则，需要孩子练习熟练。 多个多个计数多个多个的数，虽然也是一种计数，但是因为前后形成了有规律的序列，可以让孩子体会更多。这其中具体的好处： （1）增强数感和数字的规律性感受。 （2）多个多个成堆数是朴素的乘法直觉概念的前置经验，体验的多可以降低未来学习乘法的难度。 下面是孩子们多个多个计数作业的例子。 分与合分走就是减法的朴素经验，合并就是加法的朴素经验。在分与合的过程中，就是加减运算的朴素经验过程。在孩子接触具体的符号为基础的加减法运算式之前，最好能够经历过足够多的分与合的生活事件经验，这对孩子以后掌握加减法概念和运算都有很大的好处。 分与合熟练了，理解加法和减法概念都是水到渠成的。 另外，分与合一般都是放在生活场景中。这非常自然的锻炼了的孩子们的生活里的数量逻辑关系——而这个生活里的数量逻辑关系，就是孩子的数学模型思维的基础，也就是孩子解决应用题的基础。很多孩子不会应用题，不一定是运算式不会解，而是他的数学模型思维比较弱，也就是早先在生活里的数量关系锻炼上，十分的不够。这一次启蒙虽然我没有开生活逻辑的部分，但分与合有这方面的好处。
第一组例子是分石子。这个孩子知道有多种分法，但不能有序的思考，并完备的给出所有答案。她还是一个五岁前的孩子。 同样的孩子，她做的“蚂蚁回家”的记录。用手指数来记录，这也是一个减法运算的朴素过程。也就是在这个例子里，她创造出了“零”的概念，因为三只蚂蚁回家，都走了一条边，另一边的路上就剩余零了。我们商定用“拳头”表示手指数“零”。 这是一个六岁的孩子来分石子。很显然他知道如何有序的思考，并把所有的分开的情况全部列举出来。这个思维能力是高于前面那个女孩的。只不过在7个石子左右分的时候，他有一点错误。
这里是三个随堂小作业（小游戏），都是来训练分与合的。
第一个是蚂蚁回家，做的小女孩是四岁半。 第二个是探险时找钥匙开锁——规则是这样的，探险的山洞门上有锁，锁上有一个手指数数字。人们发现钥匙的齿数（左右齿加在一起的数量）如果等于锁上的数字，这个锁就能被打开。这个题目给了四把锁，一个五岁的女孩把它都解决了。（这个问题非常适合问，一共可以有多少把不同的钥匙？只不过这些四到五岁的女孩们，不能解决拆分的完备性问题） 最后是一个六岁的男孩给我出的问题。他的锁上是一个减法运算（手指数翻译过来就是5-10），这是一个有负数的问题。答案是A（－5）。这个孩子是我的侄子，对数学比较灵的一个小孩。 大数与十进制用累积式记数法来记录数量，是非常直观的，而且加减法运算非常的方便——加法就是放到一起（合并），减法就是取走（分走）。所有累积式记数法的数学体系，都满足这个特点。乘除法虽然比较困难，但可以通过记忆乘法表、除法表来解决。 但这样一个基础数系，仍然有一个非常大的问题——那就是数量一旦比较大的时候，记录就不是很方便了。 当记录不方便的时候，客观世界就会给孩子提出真实的问题——累积式记数法写大数太麻烦了！这种真实问题的经历，以及问题的提出，是培养孩子创造性最好的土壤。这是我的数学课强调发现式建构课堂所最重视的一个点。
我用一个故事和游戏，来模拟自然数的后继产生公理，用这个过程产生大数，并让孩子们记录。故事是这样的，好心眼的巨人帮助小女孩之后，小女孩请巨人吃巧克力（前面作业有这个类似场景）。巨人一颗一颗的吃，小女孩要记录不断增长的数字“一、二、三、四……”，记错了后面付账的时候会出错的。所以我做巨人，孩子们都接受当小女孩记账的任务。 对于女孩们而言，我一个一个的增加数码，她们开始用手指数来记录。最后当我吃十六个巧克力的时候，三个女孩全部放弃了——她们写到十六，已经觉得非常的麻烦了。 这个故事之后，我问她们一个问题：如果手指数写比较大的数这么麻烦，你们有什么简单的方法吗？想一想，想一个简单的办法。 到了这里，给孩子们是留白的。需要她们想，需要她们思考。 但对于五岁和五岁之前的孩子，她们没有办法自己解决这个问题，甚至一点解决的迹象都没有显现——当我引导她们，一个人共有多少个手指的时候，她们虽然知道答案，但并不能获益。我问她们，用一个人的符号来表示“十”，因为一个人有十个手指，她们也同意。在这个小场景里，女孩可以把“十一”、“十二”用简写的方式完成，如下图，这就是一个简单分群数系的第一步，把“十”的符号创造出来，以后随着大数的接触，可以继续创造出“百、千、万……”。
但这个时候，孩子的抽象能力还是不够的，她对这个简单分群数系的符号其实不太理解。跳出这个场景后，我用加了人字的手指数写一个“十二”，问她这个数字是多少，她会把人和手指一起数，数出“三”来。这对孩子们而言，还有点早。就像一开始，我们的孩子在学校幼儿园虽然接触了“10-100”的阿拉伯数字书写和记忆，但在理解层面，她们其实还有很大差距。更不用说这个知识的发现过程。
对于接近六岁的男孩，我直接让他写“九十九”，这是一个更麻烦的数。孩子用“十个一框”的方式，写出了九十九（开始写错了，因为有一个框围住了两个小框，把二十当作十）。但孩子知道这个过程，用一个基数来有序的整理和记录思考过程——十是一个自然结果。 在我问如何可以更简单的记录的时候，孩子的回答是“九个十，一个九”，他答案的逻辑其实就是“乘法分群数系”的基本逻辑。不管是用“框”，还是用“人”，我们很自然可以协商出一个“十”的书写符号。然后很自然的创造出了简单分群数系的记数法，以及乘法分群数系的记数法。 这个孩子对于这个创造过程和抽象能力成长，可以在一点点的支持下走到这个程度。
当然，在走向定位数系的创造过程中，这个孩子还是不能有效的发现——这个如我们概要中所说，定位数系还是比较复杂的，学前的孩子还不能够发现创造。另外一个六岁男孩，在面对同一类问题，也能够展现出分组的思维和抽象能力。
最后这是一个英国童谣改编的，让孩子体验数字爆炸和大数的一首儿歌。这个六岁的男孩可以数出七乘以七的结果——四十九。 语文启蒙详细说明可以见《我的语文启蒙观》。这里针对幼升小进行了实验。甲骨文识字，通过象形文字，比独立的简体字更容易开展两类活动： （1） 陶泥手工——但这个因为成本关系，没有使用陶泥手工来全部开展。 （2） 甲骨文画画——基本上都是用这个形势来接触甲骨文和简体字的。简单字形孩子会有印象，复杂字形只用课堂时间孩子记忆不足，但他们能够尝试去抓象形特点来回忆。
最后用所有学过的汉字编写了两首儿歌，加了若干生字如信、省等，供家长参考使用。
对于讲故事而言，最重要的是每个故事后都要给出合适的问题，以锻炼孩子的批判性思维。三个问题固定的模式是： （1）简单信息（客观事实）抽取的问题。 （2）信息概要（原因探究）的问题。 （3）个人见解（自我表达与评价）的问题。
关于孩子发展的进一步建议虽然只有五个孩子，但五个孩子的特点都非常突出和不同。他们各自的人生路，都需要给予不同的关注——这就是教育中育人的部分，也是一个老师和家庭需要共同关注的；可惜这次启蒙试验班时间比较短，和孩子接触的时间总共十个小时左右，这方面仅有观察结果，无法建立情感关系并干预。这需要家长继续努力。
[1]目前现行的阿拉伯数字，是定位数系的十进制记数法。人类创造出目前在用的定位数系，经过了漫长的历史。最开始是一一对应的累积式记数法（原始人刻骨），后来发展出简单分群数系（原始人刻骨及古埃及数字），再后来发展出乘法分群数系（汉字万千百十表达数字），当然很长一段时间也是混用的（如古巴比伦人的记数法）；最后才发展出我们现在的记数法。不同的记数法，加减乘除的运算复杂性非常不同。 |
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