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1、序言 这是《漫谈经典排序算法系列》第五篇，给出了三种线性时间排序，分别是计数排序、基数排序、桶排序。 各种排序算法的解析请参考如下： 《漫谈经典排序算法:五、线性时间排序(计数、基数、桶排序)》 注：为了叙述方便，本文以及源代码中均不考虑A[0],默认下标从1开始。 2、计数排序 2.1 引出 前面四篇博客中，所有的排序算法都存在比较，都可以称为”比较排序“。比较排序的下界为o（nlogn）。那么有没有时间复杂度为o（n）的线性时间排序算法呢？计数排序便是很基础的一种线性时间排序，它是基数排序的基础。基本思想是：对每一个元素x，确定小于x的元素个数，就可以把x直接放到它在有序序列中的位置上。过程描述：假设待排序序列a中值的范围[0,k],其中k表示待排序序列中的最大值。首先用一个辅助数组count记录各个值在a中出现的次数，比如count[i]表示i在a中的个数。然后依次改变count中元素值，使count[i]表示a中不大于i的元素个数。然后从后往前扫描a数组，a中的元素根据count中的信息直接放到辅助数组b中。最后把有序序列b复制到a。 2.2 代码 #include #include //计数排序,n为数组a的记录个数，k为记录中最大值 void countingSort(int *a,int n,int k) { int i; int *count=(int *)malloc(sizeof(int)*(k+1)); int *b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)); //初始化计数数组count for(i=0;i<=k;i++) *(count+i)=0; //计算等于a[i]的记录个数 for(i=1;i<=n;i++) (*(count+a[i]))++; //计算小于等于a[i]的记录个数 for(i=1;i<=k;i++) *(count+i) += *(count+i-1); //扫描a数组，把各个元素放在有序序列中相应的位置上 for(i=n;i>=1;i--){ *(b + *(count + a[i]))=a[i]; (*(count+a[i]))--; } for(i=1;i<=n;i++) a[i]=*(b+i); free(count); free(b); } void main() { int i; int a[7]={0,3,5,8,9,1,2};//不考虑a[0] countingSort(a,6,9); for(i=1;i<=6;i++) printf('%-4d',a[i]); printf('\n'); } 2.3 效率分析 从代码来看，计数排序有5个for循环，其中三个时间是n，两个时间是k。所以总时间T(3n+2k),时间复杂度o（n+k），不管是在最坏还是最佳情况下，此时间复杂度不变.此外，计数排序是稳定的，辅助空间n+k,这个空间是比较大的，计数排序对待排序序列有约束条件(如前面我们假设待排序序列a中值的范围[0,k],其中k表示待排序序列中的最大值)，元素值需是非负数，k太大的话会大大降低效率。这里要注意的是 “扫描a数组把各个元素放在有序序列相应的位置上” 这步为什么要从后往前扫描a数组呢？大家想一想计数排序的过程就知道，因为从前扫描导致计数排序不稳定，前面说了，计数排序是基数排序的基础，所以它的稳定性直接影响到基数排序的稳定。 3、基数排序 3.1 引出 在计数排序中，当k很大时，时间和空间的开销都会增大（可以想一下对序列{8888,1234,9999}用计数排序，此时不但浪费很多空间，而且时间方面还不如比较排序）。于是可以把待排序记录分解成个位(第一位)、十位(第二位)....然后分别以第一位、第二位...对整个序列进行计数排序。这样的话分解出来的每一位不超过9，即用计数排序序列中最大值是9. 3.2 代码 #include #include #include //计数排序,n为数组a的记录个数，k为记录中最大值，按第d位排序 void countingSort(int *a,int n,int k,int d) { int i; int *count=(int *)malloc(sizeof(int)*(k+1)); int *b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)); //初始化计数数组count for(i=0;i<=k;i++) *(count+i)=0; //计算等于a[i]在d位(a[i]/(int)pow(10,d-1)%10)的记录个数 for(i=1;i<=n;i++) (*(count+a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))++; //计算小于等于a[i]在d位(a[i]/(int)pow(10,d-1)%10)的记录个数 for(i=1;i<=k;i++) *(count+i) += *(count+i-1); //扫描a数组，把各个元素放在有序序列中相应的位置上 for(i=n;i>=1;i--){ *(b + *(count + a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))=a[i]; (*(count+a[i]/(int)pow(10,d-1)%10))--; } for(i=1;i<=n;i++) a[i]=*(b+i); free(count); free(b); } //基数排序,n为数组a的记录个数，每一个记录中有d位数字 void radixSort(int *a,int n,int d) { int i; for(i=1;i<=d;i++){ countingSort(a,6,9,i); } } void main() { int i; int a[7]={0,114,118,152,114,111,132};//不考虑a[0] radixSort(a,6,3); for(i=1;i<=6;i++) printf('%-4d',a[i]); printf('\n'); } 3.3 效率分析 基数排序时间T(n)=d*(2k+3n),其中d是记录值的位数，(2k+3n)是每一趟计数排序时间，上文分析过了，k不超过9，d的值一般也很小，k、d都可以看成是一个很小的常数，所以时间复杂度o（n）。最坏最佳情况并不改变时间复杂度。基数排序是稳定的。辅助空间同计数排序k+n. 4、桶排序 4.1 引出 同计数排序一样，桶排序也对待排序序列作了假设，桶排序假设序列由一个随机过程产生，该过程将元素均匀而独立地分布在区间[0,1)上。基本思想是：把区间[0,1)划分成n个相同大小的子区间，称为桶。将n个记录分布到各个桶中去。如果有多于一个记录分到同一个桶中，需要进行桶内排序。最后依次把各个桶中的记录列出来记得到有序序列。 4.2 代码 #include #include //桶排序 void bucketSort(double* a,int n) { //链表结点描述 typedef struct Node{ double key; struct Node * next; }Node; //辅助数组元素描述 typedef struct{ Node * next; }Head; int i,j; Head head[10]={NULL}; Node * p; Node * q; Node * node; for(i=1;i<=n;i++){ node=(Node*)malloc(sizeof(Node)); node->key=a[i]; node->next=NULL; p = q =head[(int)(a[i]*10)].next; if(p == NULL){ head[(int)(a[i]*10)].next=node; continue; } while(p){ if(node->key < p->key) break; q=p; p=p->next; } if(p == NULL){ q->next=node; }else{ node->next=p; q->next=node; } } j=1; for(i=0;i<10;i++){ p=head[i].next; while(p){ a[j++]=p->key; p=p->next; } } } void main() { int i; double a[13]={0,0.13,0.25,0.18,0.29,0.81,0.52,0.52,0.83,0.52,0.69,0.13,0.16};//不考虑a[0] bucketSort(a,12); for(i=1;i<=12;i++) printf('%-6.2f',a[i]); printf('\n'); } 4.3 效率分析 当记录在桶中分布均匀时，即每个桶只有一个元素，此时时间复杂度o（n）。因此桶排序适合对很少重复的记录排序。辅助空间2n。桶排序是稳定的排序，实现比较复杂。 5、附录 参考书籍: 《算法导论》 |
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