补码

折叠 编辑本段 基本简介

补码补码（2's complement）是一种用二进制表示有号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，

常在计算机科学中使用。在台湾地区通常称为二补数。

一个数字的补码就是将该数字作比特反相运算（即一补数或反码），再将结果加 1，即为该数字的补码。在补码系统中，一个负数就是用其对应正数的补码来表示。

补码系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。只要一种加法电路就可以处理各种有符号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。

另外，补码系统的 0 只有一个表示方式，这点和一补数系统不同（在一补数系统中，0 有二种表示方式），因此在判断数字是否为 0 时，只要比较一次即可。

右侧的表是在一些 8 比特补码系统的整数。

折叠 编辑本段 补码概述

求给定数值的补码表示分以下两种情况：

折叠 正数的补码

与原码相同。

【例1】+9的补码是00001001。（备注：这个+9的补码说的是用8位的2进制来表示补码的，补码表示方式很多，还有16位2进制补码表示形式，以及32位2进制补码表示形式等。）

折叠 负数的补码

负数的补码是对其原码逐位取反，但符号位除外；然后整个数加1。

同一个数字在不同的补码表示形式里头，是不同的。比方说-15的补码，在8位2进制里头是11110001，然而在16位2进制补码表示的情况下，就成了1111111111110001。在这篇补码概述里头涉及的补码转换默认把一个数转换成8位2进制的补码形式，每一种补码表示形式都只能表示有限的数字。

【例2】求-7的补码。

因为给定数是负数，则符号位为“1”。取反加一

后七位：-7的原码（10000111）→按位取反（11111000）（负数符号位不变）→加1(11111001)

所以-7的补码是11111001。

已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况：

⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。

⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

再举一个例子：求-64的补码

+64：01000000

11000000

【例3】已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。

和求一个数的补码相反，减1取反

10001001-1=10001000，然后取反 符号位不变，11110111

在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”

的概念：

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范

围，即都存在一个“模”。例如：

时钟的计量范围是0～11，模=12。

表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n）。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的

余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如：假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

一种是倒拨4小时，即：10-4=6

另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特

性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再

加1称为100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的

模为2^8。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以

了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

另外两个概念

一的补码（one's complement) 指的是正数=原码，负数=反码

而二的补码（two's complement) 指的就是通常所指的补码。

小数补码求法：一种简单的方式，符号位保持1不变，数值位从右边数第一个1及其右边的0保持不变，左边按位取反。

折叠 补码的绝对值（称为真值）

【例4】-65的补码是10111111

若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。

事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。

若要得到一个负二进制数的绝对值（称为真值），只要各位（不包括符号位）取反，再加1，就得到真值。

如：二进制值：10111111（-65的补码）

各位取反：01000000

加1：01000001（+65的补码）

折叠 编辑本段 代数加减运算

折叠 补码加法

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补

[X]补=00110011 [Y]补=11010111

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010

注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是

100001010，而是00001010。

折叠 补码减法

[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：负数的绝对值的原码所有位按位取反；然后整个数加1。（恢复本来解释。请路人真正理解并实际验证后再修改。以免误导大众。另外，例6不具典型性，新增例7。）

【例6】1+（-1) [十进制]

1的原码00000001 转换成补码：00000001

-1的原码10000001 转换成补码：11111111

1+（-1)=0

00000001+11111111=00000000

00000000转换成十进制为0

0=0所以运算正确。

【例7增】-7-（-10) [十进制]

-7的补码：11111001

-10的补码：11110110

-（-10）：按位取反再加1实际上就是其负值的补码，为00001010

-7 - （-10)= -7 + 10 = 3

11111001+00001010 = 00000011

转换成十进制为3

折叠 3、补码乘法

设被乘数【X】补=X0.X1X2……Xn-1，乘数【Y】补=Y0.Y1Y2……Yn-1,

【X*Y】补=【X】补×【Y】补，即乘数（被乘数）相乘的补码等于补码的相乘。

折叠 编辑本段 代数解释

任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2），第（n-1）位为符号位不计算在内。

这里k0,k1,k2,k(n-2）是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1），而2^(n-1）其二项展开是：1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2），而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2）和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2）两式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1，而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1）的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1）这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1），这正是n位二进制的模。

不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。

注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，所以模为2^(n-1）。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0~2^8-1。