【原】圆锥曲线定点3

用下面这个栗子来说明.

容易求得椭圆的方程为:

第(2)问的探求有两种思路.

思路1：联立直线MN的方程与椭圆方程，采用“设而不求”的方法，用韦达定理写出两横坐标（或纵坐标）的积与和，然后代入斜率乘积的关系式，研究k和m的关系，最后再研究直线过定点的问题.

我们来实施这个办法.

做好了数据准备之后，再代入斜率关系式.

注意判别式对k和m的制约关系，不可遗漏.

下面换思路2：联立直线AM与椭圆方程，解出M点坐标；联立直线AN与椭圆方程，解出N点坐标.最后研究直线MN过定点的问题.

求解出M点坐标之后，求N点坐标要学会“同理”，这是减少运算量的聪明办法.(前提是的确为同一个道理）

已知M,N的坐标之后，如何求定点坐标呢？

在圆锥曲线定点问题2中，我们强调了特殊位置寻找定点的方法.可是本题中斜率是存在的，我们无法通过MN垂直于x轴的情况来求出定点.

是不是一定要写出直线MN的方程呢？

仔细一看，我们发现M,N的横纵坐标正好相反，也就是说M,N两点是关于原点对称的.

故直线MN恒过定点（0,0）.

在椭圆的直径一文中，我们谈到过椭圆中心的弦就是椭圆的直径.椭圆直径有这样的规律:

若MN是椭圆的直径，A是椭圆上任意一点（不与M,N重合），若直线AM和AN的斜率都存在，则k(AM)*k(AN)为定值，这个定值为-b^2/a^2(焦点在x轴上的椭圆）或-a^2/b^2(焦点在y轴上的椭圆）.

微信昵称为“张敏”的朋友提出的背景知识是一个更一般化的结论：

从椭圆左顶点A出发的两条弦分别交椭圆于M,N两点，若直线AM和直线AN的斜率乘积为定值，则MN过x轴上一定点；若MN过x轴上一定点，则直线AM和直线AN的斜率乘积为定值.

有兴趣的朋友不妨深入研究斜率乘积定值和定点之间的代数关系式.