一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点总结

知识结构梳理

                                    

（1）含有          个未知数。

                                     （2）未知数的最高次数是          

                 1、概念      （3）是          方程。

                                  （4）一元二次方程的一般形式是                 。

                                      （1）          法，适用于能化为 的一元。

                                         二次方程

                                      （2）           法，即把方程变形为ab=0的形式，

           2、解法        （a，b 为两个因式）, 则a=0或          

                                      （3）            法

                                     （4）            法，其中求根公式是                       

                                        

                                                     当        时，方程有两个不相等的实数根。

                                        （5）  当        时，方程有两个相等的实数根。

                                                      当        时，方程有没有的实数根。

                                                        可用于解某些求值题        

                                                                                                     （1）                                   

                 一元二次方程的应用                                                  （2）                 

                                                                                                       （3）                    

                                                        可用于解决实际问题的步骤  （4）                    

                                                                                                       （5）                     

                                                                                                       （6）                       

知识点归类

  建立一元二次方程模型

知识点一  一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例  下列关于的方程，哪些是一元二次方程？

⑴；⑵；（3）；（4）；（5）

知识点二 一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

 

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）；  （2）； （3）

 

 

例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则       

知识点三  一元二次方程的解

   使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

 

 

知识点四  建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，

鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，

若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？                  鸡场

（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）

 

 

 

 

 

 

                                                                                                         

 因式分解法、直接开平方法

知识点一  因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

     例  用因式分解法解下列方程：

（1）；    （2）；  （3）。

 

 

 

 

 

知识点二  直接开平方法解一元二次方程

若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。

例  用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）； （2）； （3）

 

 

 

 

 

知识点三  灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例  运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）；    （2）

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点四  用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：，将原方程变形为，由此可得出

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五  形如“”的方程的解法。

对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。

例 解下列方程：（1）；        （2）

 

 

 

 

 

 

配方法

知识点一  配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例  用配方法解下列方程：

（1）；    （2）

 

 

 

 

知识点二    用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）    在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）    把原方程变为的形式。

（3）    若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

例 解下列方程：

 

 

 

 

 

 

 

知识点三    用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

         (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；

（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例  用配方法解下列方程：

（1）；     （2）

 

 

 

 

 

 

公式法

知识点一  一元二次方程的求根公式

一元二次方程的求根公式是：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

例  用公式法解下列方程

（1）；  （2）； （3）

 

 

 

 

 

 

知识点二  选择适合的方法解一元二次方程

   直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例  用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）；（2）；（3）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点三   一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式 △=

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）    △=﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）    △==0方程有两个相等的实数根；

（3）    △=﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

例  不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）；（2）；（3）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点四   根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0

（2）方程有两个相等的实数根=0

                      （3）方程没有实数根﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例  为何值时，方程的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根；  （3）没有实数根；

知识点五  一元二次方程的根与系数的关系

若是一元二次方程的两个根，则有，  

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）        （2）

（3）；

（4）││==

 

 

 

 

 

例  已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。

（1）；              （2）。

知识点六  根据代数式的关系列一元二次方程

   利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例  当取什么值时，代数式与代数式的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一    列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）    审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

知识点二   用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。

例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为                                    

知识点三    用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

 

 

 

易错知识辨析：

（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.

（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

（3）用配方法时二次项系数要化1.

（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

 

一元二次方程测试题

 

一、选择题

1、若关于x的一元二次方程(m-1)x²+5x+m²-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（    ）

   A、1         B、2             C、1或2          D、0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

3、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（    ）

A．          B．        C．           D．

4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x² + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（    ）

A．没有实数根                        B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根                D．有两个不相等的实数根

5、已知是方程的两根，且，则的值等于 （      ）

A．－5            B.5              C.-9             D.9

 

6、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）

A．        B．     C．        D．

7、的估计正确的是 （    ）

    A．  B．   C．     D．

8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（    ）

A．1                  B．12           C．13                   D．25

 

 

9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据

题意，列出方程为(   )

       A、 B、 C、 D、

10、若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 (     )

       A．－1          B．           C．1              D．或

11、设是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．2006    B．2007       C．2008       D．2009

12、对于一元二次方程ax²+bx+c=O(a≠0)，下列说法：

  ①若a+c=0，方程ax²+bx+c=O必有实数根；

  ②若b2+4ac<0，则方程ax²+bx+c=O一定有实数根；

    ③若a-b+c=0，则方程ax²+bx+c=O一定有两个不等实数根；

④若方程ax²+bx+c=O有两个实数根，则方程cx²+bx+a=0一定有两个实数根．

 其中正确的是(   )

  A．①②    B．①③    C．②③    D．①③④

二、填空题

1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=   ．

2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，

2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a=    ．

3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是                   ．

4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值为__________．

5、在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．

 

6、已知关于的一元二次方程（为常数）．

  设，为方程的两个实数根，且，则K的值为__________． 

7、已知m、n是方程的两根，则与的积是          .  

三、简答题

1、已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．

 

 

 

 

 

 

 

2、已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，求m的值。

（友情提示：若、是一元二次方程两根，则有，）

 

 

 

 

 

3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。

（1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；

（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、若关于的一元二次方程有实数根．

求实数k的取值范围；

设，求t的最小值．