初中必考公式02---一元二次方程知识点整理

概念初步了解

一元二次方程的整数解问题是二次方程的一个拓展问题，涉及一元二次方程的解法、判别式、韦达定理及数论等知识点，非常综合，对学生的能力要求比较高。所以这块内容在自招和竞赛中频频出现。处理一元二次方程的整数解问题一般可以通过观察条件中字母系数的特征及两根的特征选择合适的方法，比如直接因式分解、判别式法、韦达定理等。不同的方法适用条件不同，这一点需要大家自己感受。

一、定义和特点

一、定义和特点

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

二、性质

二、方程定义

方程的两根与方程中各数有如下关系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a(也称韦达定理)

方程两根为x1，x2时，方程为：x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)

b^2-4ac>0有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0有两个相等的实数根，b^2-4ac<>

三、一般解法

三、四种解法

一元二次方程的一般解法有以下几种：

配方法(可解部分一元二次方程)

公式法(在初中阶段可解全部一元二次方程，前提：△≥0)

因式分解法(可解部分一元二次方程)

直接开平方法(可解全部一元二次方程)

四、解法案例解析

例1

分析

        发现可以直接因式分解，把根表示出来再分析整数条件即可：

注：如果能因式分解，优先考虑因式分解。

例2

分析一

        整系数一元二次方程有有理根，则判别式为完全平方数。由此我们可以运用判别式法。

分析二

        两根均为整数，可以通过韦达定理来求解：

注：此题条件无论系数还是两根均为整数，故判别式法和韦达定理都可行。

例3

分析

        无法因式分解，方程为整系数，可以用判别式法

思考：能用韦达定理做吗？

例4

分析

        根均为整数，考虑用韦达定理，记得先讨论二次项系数：

思考：此题能用判别式法吗？

注：

1、判别式法，系数必须为整数，两根不必全为整数（有理数即可）；

2、韦达定理，系数无要求（实数也可以，反正消掉的），两根必须都是整数。

例5

分析

        根据题目条件，只能用判别式法

注：此题还可反客为主，转化成关于的方程进行分析，同学们可自行思考。

五、小节讲解总结

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法)。

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