双曲线焦点三角形面积公式推导为什么不是二分之一底成高而是F1P^2 F2P^2

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1.75亿学生的选择

题目
双曲线焦点三角形面积公式推导
为什么不是二分之一底成高而是F1P^2 F2P^2-2F1PxF2Pxcos
数学LELIS00025032014-10-29

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优质解答
设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/b^2=1,
F1、F2分别是双曲线的左右焦点,P是双曲线上任意一点,PF1和PF2夹角为θ,
在△PF1F2中,根据余弦定理,
F1F2^2=PF1^2 PF2^2-2|PF1|*|PF2|cosθ,
||PF1|-|PF2||=2a,
|F1F2}=2c,
4c^2=(PF1-PF2)^2 2|PF1|*|PF2|-2|PF1|*|PF2|cosθ,
4c^2=4a^2 2|PF1|*|PF2|(1-cosθ)
|PF1|*|PF2|(1-cosθ)=2(c^2-a^2)=2b^2,
|PF1|*|PF2|=2b^2/(1-cosθ),
S△PF1F2=(1/2)|PF1||PF2|sinθ
=b^2sinθ/(1-cosθ)
=b^2*(2sinθ/2cosθ/2)/[2(sinθ/2)^2]
=b^2*cos(θ/2)/[sin(θ/2)]
=b^2cot(θ/2).

糖家人557 2014-10-29

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