三角学回顾来源：图灵社区 编辑：Gemini 学习微积分必须要了解三角学. 说实话, 我们一开始不会碰到很多有关三角学的内容, 但当它们出现的时候, 会让我们感觉不容易. 因此, 我们不妨针对三角学最重要的一些方面进行一次全面的回顾：
准备开始回忆吧 ……  2.1 基本知识首先要回忆的是弧度的概念. 旋转一周, 我们说成 2π 弧度而不是 360°. 这似乎有点古怪, 但这里也有一个理由, 那就是半径为 1 个单位的圆的周长是 2π 个单位. 事实上, 这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度, 如图 2-1 所示.  上图表示了一般情况, 但要紧的还是一些常用角的度和弧度表达. 首先, 你应该确实掌握, 90° 和 π/2 弧度是一样的. 类似地, 180° 和 π 弧度是一样的, 270° 和 3π/2 弧度是一样的. 一旦掌握了这几个角, 就试着将图 2-2 中所有的角在度与弧度之间来回转换吧.  更一般地, 如果需要的话, 也可以使用公式 用弧度度量的角 例如, 要想知道 5π/12 弧度是多少度, 可求解
你会发现 5π/12 弧度就是 (180/π) × (5π/12) = 75°. 事实上, 可以将弧度和度的转换看成是一种单位的转换, 如英里和公里的转换一样. 转换因数就是 π 弧度等于 180°. 到目前为止, 我们仅仅研究了角, 现在来看看三角函数吧. 显然, 你必须知道如何由三角形来定义三角函数. 假设我们有一个直角三角形, 除直角外的一角被记为 θ, 如图 2-3 所示. 那么, 基本公式为 sin (θ) = tan (θ) = 当然, 如果变换了角 θ, 那么也必须变换其对边和邻边, 如图 2-4 所示. 毫不奇怪, 对边就是对着角 θ 的边, 而邻边则是挨着角 θ 的边. 不过, 斜边始终保持不变： 它是最长的那条边, 并始终对着直角. 我们也会用到余割、正割和余切这些倒数函数, 它们的定义分别为
如果你有计划要参加一次微积分的考试 (或者即便你没有), 我的一点建议是： 请熟记常用角 0, π/6, π/4, π/3, π/2 的三角函数值. 例如, 你能不假思索化简 sin (π/3) 吗？tan (π/4) 呢？如果你不能, 那么最好的情况下, 你通过画三角形来寻找答案, 从而白白浪费时间; 而最坏的情况下, 由于总是没有化简你的回答, 你白白丢掉分数。 解决的方法就是要熟记下表.
表中的星号表示 tan (π/2) 无定义. 事实上, 正切函数在 π/2 处有一条垂直渐近线 (从图像上看会很清楚, 我们将在 2.3 节对此进行研究). 无论如何, 你必须能够熟练地说出该表中的任意一项, 而且来回都要掌握! 这意味着你必须能够回答两类问题. 这两类问题的例子是： (1) sin (π/3) 是什么？(使用该表, 答案是 (2) 介于 0 到 π/2, 其正弦值为 当然, 你必须能够回答该表中的每一项所对应的这两类问题. 就算我求大家了, 请背熟这张表! 数学不是死记硬背, 但有些内容是值得记忆的, 而这张表一定位列其中. 因此, 无论是制作记忆卡片, 让你的朋友来测验你, 还是每天抽一分钟记忆, 不管用什么办法, 请背熟这张表.  2.2 扩展三角函数定义域上表 (你背熟了吗？) 仅仅包括介于 0 到 π/2 的一些角. 但事实上, 我们可以取任意角的正弦或者余弦, 哪怕这个角是负的. 对于正切函数, 我们则不得不小心些. 例如, 上面我们看到的 tan (π/2) 是无定义的. 尽管如此, 我们还是能够对几乎每一个角取正切. 让我们首先来看看介于 0 到 2π (记住, 2π 就是 360°) 的角吧. 假设你想要计算 sin (θ) (或 cos (θ) 或 tan (θ)), 其中 θ 是介于 0 到 π/2 的角. 为了看得更清楚, 我们先来画一个带有一点古怪标记的坐标平面, 如图 2-5 所示. 注意到坐标轴将平面分成了四个象限, 标记为Ⅰ到Ⅳ, 且标记的走向为逆时针方向. 这些象限分别被称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 下一步是要画一条始于原点的射线 (就是半直线). 那么究竟是哪一条射线呢？这取决于角 θ. 来想象一下, 你自己站在原点上, 面向 x 轴的正半轴. 现在沿着逆时针方向转动角 θ, 然后你沿着一条直线向前走. 你的足迹就是你要找的那条射线了. 现在, 图 2-5 (以及图 2-2) 中的其他标记就说得通了. 事实上, 如果你转动了角 π/2, 你将正面向上并且你的足迹将是 y 轴的正半轴. 如果你转动了角 π, 你将得到 x 轴的负半轴. 如果你转动了角 3π/2, 你将得到 y 轴的负半轴. 最后, 如果你转动了角 2π, 那么就又会回到了你起始的那个位置, 即面向 x 轴的正半轴. 这就好像你根本没转动过! 这就是为什么图中会有 0 ≡ 2π. 对于角度而言, 0 和 2π 是等价的. 好了, 让我们取某个角 θ 并以恰当的方式画出它. 或许它就在第三象限的某个地方, 如图 2-6 所示. 注意到我们将这条射线标记为 θ, 而不是这个角本身. 不管怎样, 现在在这条射线上选取某个点并从该点画一条垂线至 x 轴. 我们对三个量感兴趣：该点的 x 坐标和 y 坐标 (当然它们被称为 x 和 y), 以及该点到原点的距离, 我们称为 r. 注意, x 和 y 可能会同时为负 (事实上, 在图 2-7 中它们均为负). 然而, r 总是正的, 因为它是距离. 事实上, 根据毕达哥拉斯定理 (即勾股定理), 不管 x 和 y 是正还是负, 我们总会有 有了这三个量, 我们就可以定义如下的三个三角函数了：
将量 x、y 和 r 分别解释为邻边、对边和斜边, 这些函数恰好就是 2.1 节中的固定公式了. 不过等一下, 如果你在那条射线上选取了另外一个点, 那会是什么样子呢？ 这不要紧, 因为你得到的新的三角形和原来的那个三角形是相似的, 而上述比值不会受到任何影响. 事实上, 为方便起见, 我们常常假设 r = 1, 这样得到的点 (x, y) 会落在所谓的单位圆 (就是以原点为中心, 半径为 1 的圆) 上. 现在来看一个例子. 假设, 我们想求 sin (7π/6). 首先, 7π/6 会在第几象限呢？ 我们需要决定 7π/6 会出现在列表 0, π/2, π, 3π/2, 2π 的哪个地方. 事实上, 7/6 大于 1 但小于 3/2, 故 7π/6 在 π 和 3π/2 之间. 事实上, 图 2-8 看起来很像前面的例子.
2.2.1 ASTC 方法上例中的关键是将 sin (7π/6) 和 sin (π/6) 联系起来, 其中 π/6 是 7π/6 的参考角. 事实上, 并不难看出任意角的正弦就是其参考角正弦的正值或负值! 这就使问题缩小到两种可能性上, 而且没有必要再 x, y 或 r 如此这般麻烦. 因此, 在我们的例子中, 只需要求出 7π/6 的参考角, 即 π/6; 这就会立即可知 sin (7π/6) 等于 sin (π/6) 或 -sin (π/6), 而我们只需从中选出正确的结果. 我们发现, 结果是负的那个, 因为 y 是负的. 事实上, 在第三或第四象限中的任意角的正弦必定为负, 因为那里的 y 为负. 类似地, 在第二或第三象限中的任意角的余弦必定为负, 因为那里的 x 为负. 正切是比值 y/x, 它在第二和第四象限为负 (由于 x 和 y 中的一个为负, 但不全为负), 而在第一和第三象限为正. 让我们来总结一下这些发现吧. 首先, 所有三个函数在第一象限 (I) 中均为正. 在第二象限 (II) 中, 只有正弦为正, 其他两个函数均为负. 在第三象限 (III) 中, 只有正切为正, 其他两个函数均为负. 最后, 在第四象限 (IV) 中, 只有余弦为正, 其他两个函数均为负. 具体如图 2-10 所示. 事实上, 你只需要记住图表中的字母 ASTC 就行了. 它们会告诉你在那个象限中哪个函数为正. “A” 代表 “全部”, 意味着所有的函数在第一象限均为正. 显然, 其余的字母分别代表正弦、正切和余弦. 在我们的例子中, 7π/6 在第三象限, 所以只有正切函数在那里为正. 特别地, 正弦函数为负, 又由于我们已经把 sin (7π/6) 的可能取值缩小到 1/2 或 -1/2 了, 因此结果一定是负的那个, 即 sin (7π/6) = -1/2. ASTC 图唯一的问题在于, 它没有告诉我们该如何处理角 0, π/2, π 或 3π/2, 因为它们都位于坐标轴上. 这种情况下, 最好是先忘记所有 ASTC 的内容, 然后以恰当的方式画一个 y = sin (x) (或 cos (x), 或 tan (x)) 的图像, 并且从图像中读取数值. 我们将在 2.3 节对此进行研究. 以下是用 ASTC 方法来求介于 0 到 2π 的角的三角函数值的总结. (1) 画出象限图, 确定在该图中你感兴趣的角在哪里, 然后在图中标出该角. (2) 如果你想要的角在 x 轴或 y 轴上 (即没有在任何象限中), 那么就画出三角函数的图像, 从图像中读取数值 (2.3 节有一些例子). (3) 否则, 找出在代表我们想要的那个角的射线和 x 轴之间最小的角, 这个角被称为参考角. (4) 如果可以, 使用那张重要的表来求出参考角的三角函数值. 那就是你需要的答案, 除了你可能还需要在得到的值前面添一个负号. (5) 使用 ASTC 图来决定你是否需要添一个负号. 来看一些例子. 如何求 cos (7π/4) 和 tan (9π/13) 呢？我们一个一个地看. 对于 cos (7π/4), 我们注意到 7/4 介于 3/2 和 2 之间, 故该角必在第四象限, 如图 2-11 所示.
为了求出参考角, 注意到我们必须向上走到 2π (注意! 不是到 0), 因此, 参考角就是 2π 和 7π/4 的差, 即 (2π - 7π/4), 或简化为 π/4. 所以 cos (7π/4) 是正的或负的 cos (π/4). 根据表, cos (π/4) 是 现在来看一下 tan (9π/13). 我们发现 9/13 介于 1/2 和 1 之间, 故角 9π/13 在第二象限, 如图 2-12 所示. 这一次, 我们需要走到 π 以到达 x 轴, 故参考角就是 π 和 9π/13 的差, 即 (π-9π/13), 或简化为 4π/13. 这样, 我们知道 tan (9π/13) 是正的或负的 tan (4π/13). 哎呀, 可是数 4π/13 没有在我们的表里面, 因此不能化简 tan (4π/13). 可我们还是需要确定它是正的还是负的. 那好, ASTC 图显示, 在第二象限中只有正弦为正, 故正切一定为负, 于是 tan (9π/13) = -tan (4π/13). 这就是不使用近似可以得到的最简形式. 在求解微积分问题的时候, 我不建议取近似结果, 除非题目中有明确要求. 一个常见的误解是, 当你计算如同 -tan (4π/13) 这样的问题时, 由计算器计算出来的数就是正确答案. 其实, 那只是一个近似! 所以你不应该写
因为它不正确. 就应该写 -tan (4π/13), 除非有特别的要求, 让做近似. 在那种情况下, 使用约等号和更少的小数位数, 并恰当化整近似 (除非要求保留更多小数位数)：
顺便说一下, 你应该少用计算器. 事实上, 一些大学甚至不允许在考试中使用计算器! 因此, 你应该尽量避免使用计算器. 2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数还有一个问题, 就是如何取大于 2π 或小于 0 的角的三角函数. 事实上, 这并不太难, 简单地加上或减去 2π 的倍数, 直到你得到的角在 0 和 2π 之间. 你看, 它并不是在 2π 就完了. 它是一直在旋转. 例如, 如果我让你站在一点面向正东, 然后逆时针方向旋转 450°, 一种自然的做法是, 你旋转一整周, 然后再旋转 90°. 现在你应该是面向正北. 当然, 另一种不那么头晕目眩的做法是, 你只逆时针方向旋转 90°, 而你面向的是同样的方向. 因此, 450° 和 90° 是等价的角. 当然, 这对于弧度来说也一样. 这种情况下, 5π/2 弧度和 π/2 弧度是等价的角. 但为什么要止步于旋转一周呢？9π/2 弧度又如何？这和旋转 2π 两次 (这样我们得到 4π), 然后再旋转 π/2 是一样的. 因此, 在得到最终的 π/2 之前, 我们做了两周徒劳的旋转. 旋转周数无关紧要, 我们再次得到 9π/2 和 π/2 等价. 这个过程可以被无限地扩展下去, 以得到等价于 π/2 的角的一个家族：
当然, 这其中的每一个角都比第一个角多一个整周旋转, 即 2π. 但这仍然还没算完. 如果你做了所有这些逆时针旋转, 并感到头晕目眩, 或许你也会要求做一个或两个顺时针旋转来缓和一下. 这就相当于一个负角. 特别地, 如果你面向东, 我让你逆时针旋转 -270°, 对我这个怪异要求唯一合理的解释就是顺时针旋转 270°(或 3π/2). 显然, 你最终仍然会面向正北, 因此, -270° 和 90° 一定是等价的. 确实, 我们将 360° 加到 -270° 上就会得到 90° . 使用弧度, 我们则看到, -3π/2 和 π/2 是等价的角. 另外,
这个序列没有开端也没有结束. 当我说它是 “完全的” 时, 我用前后两头的省略号代表了无穷多个角. 为了避免这些省略号, 我们可以使用集合符号 {π/2 + 2πn}, 其中 n 可以取所有整数. 来看一下是否可以应用它吧. 如何求 sec (15π/4) 呢？首先, 注意到如果我们能够求出 cos (15π/4), 所要做的就是取其倒数以得到 sec (15π/4). 因此, 让我们先求 cos (15π/4). 由于 15/4 大于 2, 让我们先试着消去 2. 这样, 15/4 - 2 = 7/4, 现在它介于 0 和 2 之间, 这看上去很有希望了. 代入 π, 我们看到 cos (15π/4) 和 cos (7π/4) 是一样的, 并且我们已经求出其结果为 最后, sin (-5π/6) 又如何呢？有很多方法来求解此问题, 但上面提到的方法是试着将 2π 的倍数加到 -5π/6 上, 直到结果是介于 0 到 2π 的. 事实上, 2π 加上 -5π/6 得 7π/6, 因此, sin (-5π/6) = sin (7π/6), 后者我们已经知道等于 -1/2. 另外, 我们也可以直接画图 2-13.
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用度度量的角.
用度计量的角,
