- 问:
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参考例题 -
- 题目:
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在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线,P是射线AC上任意一点(不与A. D. C三点重合),过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,交直线BD于E. (1)如图,当点P在线段AC上时,说明∠PDE=∠PED. (2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F,则PF与BD有怎样的位置关系?画出图形并说明理由。 -
- 考点:
- 三角形内角和定理, 平行线的判定
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- 分析:
- (1)由PQ与AB垂直,得到一对直角相等,理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余,再BD为角平分线,利用角平分线定义得到一对角相等,再由对顶角相等,利用等量代换即可得证;
(2)分两种情况,当P在线段AC上时,如图1所示,可得出PF与BD平行,由第一问的结论利用等角对等边得到PD=PE,利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证;当P在AC延长线时,PF垂直于BD,由PD=PE,利用三线合一即可得证. -
- 解答:
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(1)∵PQ⊥AB, ∴∠EQB=∠C=90°, ∴∠BEQ+∠EBQ=90°,∠CBD+∠PDE=90°, ∵BD为∠ABC的平分线, ∴∠CBD=∠EBQ, ∵∠PED=∠BEQ, ∴∠PDE=∠PED; (2)当P在线段AC上时,如图1所示,此时PF∥BD, 理由为:∵∠PDE=∠PED, ∴PD=PE, ∵PF为∠CPQ的平分线,∠CPQ为△PDE的外角, ∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED, ∴PF∥BD; 当P在线段AC延长线上时,如图2所示,PF⊥BD, 理由为:∵∠PDE=∠PED, ∴PD=PE, ∵PM为∠CPQ的平分线, ∴PF⊥BD.
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