几何基本功一招搞定三角形二倍角问题 - 初中数学联赛几何100题之12

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题目：已知：ABC 中，CBA = 2CAB ，CBA的角平分线 BD与CAB 的角平分线 AD 相交于点 D ，且 BC = AD .

求证：ACB = 60.

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

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题目分析：

观察条件和结论的特征。

条件的一大特征是内心，难点在于如何把BC和AD这两条线段凑在一起，转化为有用的信息。常见的手段还是脱不了对称、平移、旋转。

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解法一：利用对称作出三角形ABD的对称图形，从而将AD转化到与BC的同一三角形中。

令

作的角平分线交AC于E，易证

故BE=AD=BC

同时

所以三角形BCE为正三角形，，证毕

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解法二：利用等腰梯形的对称性转移线段

作DE//AB交AC于E，因为

所以四边形DEAB为等腰梯形，从而BE=AD=BC

同样的，

所以三角形BCE为正三角形，

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解法三：利用平行四边形平移AD

作AE//BD,BE//AD，得到平行四边形AEBD

从而,且

加上BC=BE，∠AEB=∠ADB∠C

所以A,C,B,E四点共圆。

可得,即

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补充：这里要注意的是这种四点共圆的证明方法，和直接使用张角相等、对角互补、外角等于内对圆幂定理逆定理、四点到定点距离相等这些方法都不同，值得展开一下。

如上图，AB=AC,,问：A,B,C,D是否四点共圆？

过A分别作BD,CD的垂线，交BD,CD或其延长线于E,F点，分类讨论：

①如果∠ABD=∠ACD或者∠BAD=∠CAD， 则只有在时，

,结论成立。

如果时,结论不成立。

②如果∠ABD∠ACD，则此两角一为锐角一为钝角，E,F必有一点在ABCD内部，一点在ABCD外部。不妨设E点的线段BD上，F点的DC的延长线上。

易证

A,B,C,D四点共圆成立。

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总结：二倍角加上平移、对称后的妙用。

你做对了吗？如果你有更好的方法，欢迎分享。

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