(1)两条线段在同一个三角形中,通常运用等角对等边; (2)两条线段在两个三角形中,证明这两条线段是全等三角形的对应边;(3)运用等腰三角形的三线合一、线段的垂直平分线性质定理、角平分线的性质定理证明;(4)特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)的判定或性质;观察图形,可以发现,线段CP、PB在同一个三角形中,由题易知∠PCB、∠PAB=15°,在不添加辅助线的前提下,无法证明∠PBC=15°,若换一种思路,将线段PB、PC放到两个三角形中,证明所在的三角形全等也无法实现,图中更没有垂直平分线、角平分线等特殊图形,似乎常用的方法无法实现。由于图形中的条件比较集中,因此可以尝试从图形运动的角度添加辅助线使集中的条件分散化,搭建已知和未知之间的桥梁,这就是解题的突破口。 解法分析:从图形运动的角度看,解法1通过构造平行四边形,将PB平移到AD,从而将AD、CP置于两个全等的三角形中;解法2通过构造正方形,将AD平移到BD处,同样通过全等证明线段相等。在图中通过构造平行四边形或者构造正方形来实现线段的平移。 解法分析:从图形运动的角度看,解法3和解法4是观察到图中含15°、30°角,翻折后将会出现30°、60°的特殊角,从而构造了全等三角形、等腰三角形和等边三角形来证明问题的正确性。解法分析:从图形运动的角度看,解法5、解法6以及解法7则是观察到图形中已知或需证的等腰三角形,或是构造了角平分线,充分运用其轴对称性质解题。 当条件或问题中出现或构造二倍角、等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线等条件,可以考虑运用翻折变化,运用其轴对称性质解决问题。解法分析:从图形运动的角度看,解法8实质上将AB绕点A逆时针旋转60°,构造了等边三角形,利用“等角对等边”解决问题;解法9将CP绕点C顺时针选择60°,构造等角,再通过全等三角形的相关知识将问题解决。总之,当题目中含有等边三角形、等腰三角形等图形时,或需要构造等腰三角形、等边三角形时,可以考虑通过图形的旋转解决。
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