中考压轴题的教学策略

xyz3i 2016-05-29

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初中数学解法研究

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“初中数学解法研究”公众平台以一些典型问题为载体，从一题多解、多解归因和思维调控等角度，探索解题中的巧法、通法以及方法的思路来源等，希望帮助读者开阔思路、优化解法和提高解题效率，也希望能得到您的指点！

前言

在中考即将来临之际，想把自己一点微不足道的经验分享给各位同行，希望对您能有一点点的帮助，祝福学子们能不辜负老师和家长的期望，考出理想的成绩！由于本人水平有限，文中一定还有很多不足之处，希望得到各位高人的指点。

正文

中考压轴题一向是“兵家必争之地”，是中考的夺分题，也是区分层次和实现选拔的重要题型，压轴题的教学策略在实现学生对压轴题的突破扮演者非常重要的角色。目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和技能综合型，这也完全符合课改的要求。由于压轴题考查的知识点较多，综合性较强，覆盖面广，关系复杂，思路难觅，解法灵活，常常令一些学生束手无策，因此需要教师在教学过程要正确引领学生走进压轴题的世界，为提高学生压轴题的得分率，对学生解答压轴题方法策略上的指导是必要的，根据课改的目标，压轴题的一般教学策略如下几个方面：1.审题；2.问题转化；3.数学思想方法；4.一题多解；5.思维自我监控；6.解题后的反思。

教师在教学过程中可以制定一些具体的教学策略，笔者认为在教学过程中教师应该注重如下几个具体策略：

1引导学生认真审题挖掘隐含条件。

2引导学生数形结合，合理添辅助线。

3引导学生用识别基本图形，关注基本图形的特性。

4引导学生转化问题。

5引导学生在解题过程中思维自我调控。

6引导学生一题多法和多法归因。

7引导学生解题后有效反思。

8引导学生适当变式。

下面以一道二模压轴题为例，谈谈教师压轴题的教学策略，原题如下：如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．

（1）求CD的长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．

1、引导学生认真审题挖掘隐含条件

美国著名数学家波利亚曾说过：对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。他在《怎样解题》一书中把审题分为两个阶段：“熟悉题目”和“深入理解题目”。笔者认为“深入理解题目”就是要挖掘题目中的隐含条件，教师可从两个方面引导：

（1）

引导同学从形的角度挖掘数

通过审题，引导学生挖掘这三个基本图形：共角共边型（图2），腰上添高型（图4），三线合一型（图3）。共角共边型的特征是BC2=CD×AC，另外两个图形可以根据等腰三角形的特性以及勾股定理可以算出所有未知线段的长度，以及所有的锐角三角比。由BC2=CD×AC可得CD=1，从而解决了第一问。进一步分析，如图5发现∠ABF=∠Q，因为∠ABF的三角比可求，则∠Q的三角比也知道了，易求：

这样第（2）问也顺利解决。

（2）

引导同学从数的角度挖掘形

在第（3）问中∠DAQ=2∠BAC，做∠DAQ的平分线AG，如图6，则∠DAG=∠QAG=∠BAC=∠DBC，于是得到两个基本图形，一是含等腰的全等形，如图7，易得△ABD≌AQG，GQ=2；另一个是含等腰的斜交A字相似形，如图8，可得DG=3/2，y=2 3/2=7/2，x=45/16，这就解决了第三问。

2、引导学生数形之间转化，合理添辅助线

平时课堂教学中，教师需要引导学生一起总结一些小的口诀，如下：

口诀：“一二三四五”和“八句儿歌”

一连(对角线、两中点、半径、圆心和弧中点、圆心和切点)，二延(延长相交构新图形)，三作线(作平行线、角平分线、高线)，四取中点（用中位线或直角三角形斜边中线），五倍（倍长中线、倍角）

①三角形是等腰，底边上快作高。

②三角形有中线，倍长之后联端点。

③三角形有直角，中线垂线常用着。

④特殊点作平行，比例线段现原形。

⑤三角形有中点，尝试添上中位线。

⑥梯形中好添高，或引直线平行腰。

⑦已知线段证和差，截长补短记住它。

⑧已知信息太分散，化归集中很常见。

教师还可以从不同角度来和同学讨论添辅助线的方法，如下：

添辅助线的角度

（1）图形运动①翻折②平移③旋转

（2）完备和构建基本图形

等腰三角形，包括等边和等腰直角，直角三角形，包括含30°和45°平行四边形，包括矩形、菱形和正方形，等腰梯形等等。

（3）构建全等或相似形。

多

引导学生梳理添辅助线的来龙去脉，掌握基本的、通用的方法，结合自己的解题经验，久而久之学生的能力增强了，辅助线的“法门”逐渐被找到，下面就从各个角度谈谈教师如何引导学生添辅助线：

（1）

完备和构建基本图形

在第（2）中求函数解析式可以引导学生构建等腰三角形，如图9，过点Q做QH//AC交BP延长线于点H，易得是等腰△BQH，再根据比例线段得到PH=y-x，QH=（y 2）/2,又因为cosH=cos∠ACB=1/4，可列出等式:

（2）

构建相似或全等

在第二问中求函数解析式，也可以引导学生通过作平行线构造相似形，如图10中作DK⊥BC，垂足为点K，作AI⊥BC，垂足为点I，可得DE∥AH，通过比例线段:

在第三问中，除了图6构造全等和相似外，还可以过点A作AJ⊥BQ，垂足为点J，如图11，因为x ∠3=∠2 2x，∠3=∠1 x，得∠1=∠2， AQ=AB=4，可得QJ=(y 2)/2，DJ=(y-2)/2，再由勾股定理得：

（3）

图形的运动

在求解第三问的时候，可以引导学生翻折构造倍角，如图12，作∠CBK=x，交AC的延长线于点K，易得∠K=β，△BDK和△ADQ相似，得DQ/DK=AD/BD=3/2，再通过外角∠BDC=∠BCD=x α=x β，得α=β，△ABD和△AKB相似，通过相似比得DK=7/3，再由DQ/DK=AD/BD=3/2，得DQ=7/2，即:

3、引导学生识别基本图形，关注基本图形的特性

在教学过程中，教师要引导学生发现基本图形，归纳基本图形的特性，在解压轴题的过程中，如果能恰当的运用基本图形的性质，往往能一击制胜，下面我列举了关于本题中四个基本图形：

4、引导学生转化问题

在解决压轴题时，常常需要转化成等价问题，教师要引导学生变换角度思考问题，转化得当能事半功倍，转化不当往往陷入困境，转化问题的时候，经常将分析法和综合法结合在一起，既要由果索因，也要从已知条件出发，下面是本题中的两种转换：

（1）

构造相似形，实现线段比的转换

第（2）问“求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；”可转化为：

（2）

构造半（倍）角，实现角的转换

第（3）问“当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．”可转化为：

5、引导学生在解题过程中思维的自我调控

著名解题专家波利亚在《怎样解题》一书中有一个解题表，解题表上问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思。问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的。波利亚认为，解题过程就是不断和自我对话的过程，也是不断自我调整过程，对话的有效性直接关系到解题的成败。笔者认为解压轴题时，如果学生能够自我提醒，大大提高解题的成功率，那么教师应该怎样引导学生自我对话呢？我想教师可以从引导学生形成自己的提示语方面入手。由于每个学生的性格、学习习惯和学习基础的不同，他们自己的提示语也不同，这就要求教师要了解每个学生的特征，帮助每个学生提炼属于他们自己的提示语，但是有些提示语是共性的，下面我列举了几条自我提示语：

（1）题目的已知条件和未知的问题我看清楚了吗？

（2）所有的条件我都用上了吗？

（3）题目中还有那些基本图形？它们的特性有没有用上？

（4）能不能有更简单的解法和算法？

（5）能把问题特殊化一下或者一般化一下吗？

（6）能不能直观猜想一下问题的答案？

（7）我有没有适当检查以下自己的解题过程呢？

（8）我最终的答案符合实际吗？

6、引导学生一题多法和多法归因

归因理论是美国著名的理论家韦纳提出来的，在各个领域都有着广泛的应用，在压轴题的教学过程中，教师要引导学生从各个角度探求解决问题的方法，以及方法的来源，开阔学生的解题思路，引导学生一起归因，梳理各种思路的来龙去脉。

第（2）问解法梳理

第（2）问“求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；”可梳理如下三种方法，由于前文中已经给出解题的思路，所以这里只给出解法图例。