 段广猛：江苏宿迁人，现任教于高邮市赞化学校，已在《中国数学教育》等杂志发表多篇论文，喜爱写作，愿与各位同仁分享、交流。 旋转那些事 在平面内，将一个图形绕一个定点，按某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。  例1 如图，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC，E为BC上的一点,且AB=AD，AE=5．求四边形ABCD的面积 思路：条件DA=DC，为“旋转”奠定了基础，将线段AB绕着点A逆时针旋转90°，四边形ADCB可转化为正方形，即可解决问题 解法：过点D作DF⊥BC于F，得△ADE≌△CDF，通过添加辅助线达到了“旋转”的目的  “旋转一拖二” 如左图，等腰△ABC绕着点A按逆时针方向旋转α度至△AB`C`位置，易知△ABC≌△AB`C`（即旋转后的图形与旋转前的图形全等）；如右图，若连接BB`、CC`，易证明△ABB`≌△ACC`（SAS）  这就是传说中的“旋转一拖二”，即等腰三角形旋转之后会有两个全等三角形，尤其是第二个全等往往是解题的关键．值得注意的是，结合“8字形”，可以进一步证明∠BDC=∠BAC 特例（1）共顶点的双等边三角形模型 如图，△ABC和△AB`C`都是等边三角形（AB绕A逆时针旋转60°至AC位置、AB`绕A逆时针旋转旋转60°至AC`位置，易知△ABB`≌△ACC`（SAS）  特例（2）共顶点的双等腰直角三角形模型 △ABC和△AB`C`都是等腰直角三角形（AB绕A逆时针旋转90°至AC位置、AB`绕A逆时针旋转旋转90°至AC`位置），易知△ABB`≌△ACC`（SAS）  例2 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点P是弧BC上一动点（不与B、C重合）， 求证：PA=PB+PC．  解法一（截长） 如左图，在PA上截取PQ=PB， 易证∠BPA=∠CPA=60°， 这样△PBQ为等边三角形，由“共顶点双等边三角形模型”易证△ABQ≌△CBP(SAS)，故PC=QA， 所以PA=PQ+QA=PB+PC，得证 解法二（补短） 如右图，延长CP至点Q，使PQ=PB， 易证∠BPQ=60°，这样△PBQ为等边三角形，由“共顶点双等边三角形模型”易证△ABP≌△CBQ(SAS)，故PA=QC，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得证  总而言之，上述两种解法若用旋转的眼光来看，就是绕着旋转中心B按顺时针或逆时针方向旋转60度，这样BA与BC必然重合（这是由BA=BC产生的结果）。BP则旋转60至BQ位置，构造出“共顶点双等边三角形模型”，得出全等，解决问题。 进一步，如果运用“旋转”的观点，本例还可以得到如下更加丰富的解法  规律总结 “某顶点处有两条相等的线段”为旋转提供了可能，可绕该顶点旋转，构造出“共顶点的双等腰三角形模型”，借助“旋转一拖二”，得到全等，解决问题．上述规律可简记为“等线段、共顶点；造旋转、一拖二”。 变式（1） 变式（2） 其它基于“旋转”的几何模型 正方形“半角(45度)模型” 四边形中“半角模型” 等腰直角三角形中“半角(45度)模型” 对角互补模型（1） 对角互补模型（2） 对角互补模型（3） 对角互补模型（4） 小结： 当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题．因为正方形、等腰（直角）三角形、等边三角形具备边长相等这一特征，所以在这些图形中，常用旋转变换．即当某顶点处存在相等的两条线段时，可以将此顶点出发的第三条线段进行相应的旋转，可顺转也可逆转，构造出“手拉手模型”，从而解决问题． 草根思考 看得出这是段老师用心之作，笔者看后也为段老师的“钻研精神”所折服，然而由于文章很长，难于全文刊出故只能忍痛做一择要。 有些想法提出供大家参考： 1.笔者认为可以用“图形运动”的眼光添加辅助线，但不宜用“图形运动”叙述辅助线； 2.模型很多，多到其实我已经是摘“要”刊出，然而能不能进一步总结出这些模型的共性，学习的过程就是先把书从薄读厚，再由厚读薄的过程，例如本篇，等线段是旋转的基础，对角互补是三点共线的基础，旋转的目的是聚合条件构造新的特殊三角形，不知笔者的总结是否能体现段老师的想法； 3.学生通过这个过程最重要学到的是什么？笔者认为模型重要，段老师分析问题、研究问题的策略更重要！题目纷繁复杂，如何从题海中寻求题与题之间的联系，抽象出其内核的几何模型，这正是学生所缺少的。所以笔者建议，给予学生一些类题，示范总结基本模型的方法，引领学生自己总结，并由教师进行升华，学生从中的收获也许比模型本身更重要吧… 公众号：广猛文摘 |
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