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倾情巨制，呕心沥血；数万大戏，粉墨登场；七大策略，助你成就中考压轴梦（夸张之意，小小自恋，哈哈~~） 纯文字两万字（不含公式编辑器以及图片等，下面的两个宣传当然也不算在内），单单编辑公众号文章，就花费了我大量的时间，更不要说成文的艰辛过程，在此，先允许广猛做两个宣传：一是好消息；二是坏消息！ 《特级教师解题教学研讨会》 学习数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部分。如何真正培养学生的思维，让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题？怎么解？为何这样解？如何给学生讲解？怎么回答学生“为什么我这样解题不行？”。这是广大一线数学同行迫切思考并想解决的问题，应广大老师的热切要求，名师讲堂初中数学解题教学研讨会将于2018年1月1日～2日在南京举行。 本次研讨会将邀请全国初中数学一线顶级名家，就有关“初中数学解题和解题教学中的若干热点问题”进行专题互动研讨。 授课专家简介 于新华 江苏省数学特级教师，常州市中学数学名师工作室领衔人，中国数学奥赛教练员，担任多年初高中数学教研员，曾获得“江苏省十大杰出青年”，“常州市十佳青年”，“常州市优秀教研员”等荣誉。担任过从初中到高中各个年级的数学教学工作，在多年的教学实践中，逐步形成“视野开阔，情趣交融；居高临下，深入浅出”教学风格。 卜以楼 江苏省中学数学特级教师，正高级教师。江苏省优秀教育工作者。国培、省培教师专家库成员，江苏省名师发展共同体指导导师、江苏省特级教师后备指导导师。南京师范大学硕士研究生导师、南京市首批名师工作室主持人。他是“生长数学”的设计者、倡导者、探索者、实践者，在训练学生思维能力方面形成独特的教学风格。 易良斌 湖北省特级教师、浙江省特级教师。浙师大、杭师大兼职教授。善于调动学生的学习积极性，致力于发展学生的思维能力，形成了“条理清晰，重点突出，深入浅出，生动易懂，寓乐于教”的教学风格。在全国各地为中小学数学教师上示范课和专题讲座160余场。多篇文章被中国人民大学报刊复印资料全文转载。 黄金声 江西省特级教师，中国数学奥林匹克高级教练员，东华理工大学硕士生导师，致力于“基于四维（自学合作展示引领）理念的初中数学主题教学”的探索与践行，并创造性提出“讲题的四种境界”之理念，江西省三所大学“国培计划”特聘专家，多次参加省中考命题，并于2016年担任江西省中考数学命题组长。 活动主要内容 主题1.例谈中考数学解题思想与方法(于新华) 主题2.解题有道：来路 思路 出路--45度角问题(黄金声) 主题3.解析 解答 解法 解释--在解题中学会解题 (易良斌) 主题4.自然 必然 超然--和你谈生长数学下的解题教学 (卜以楼) 主办单位：南京百创教育培训中心 南京探航教育咨询有限公司 承办单位：南京师范大学附属中学新城初中怡康街分校（南京市建邺区秀山路21号）报到时间：2017年12月31日下午14:00-20:00 会议时间：2018年1月1日～2日 会务费用：600元/人，包含教材资料费及两天的午餐（盒饭）。差旅及食宿费用自理，回原单位报销。 会议地点：南京师范大学附属中学新城初中怡康街分校（南京市建邺区秀山路21号） 报到地点： （1）2017年12月31号下午报到，地点在“维也纳智好酒店”一楼大厅，地址：南京市河西应天大街店）782号 （2）2018年1月1号早报到，直接到“新城初中怡康街分校” 报名咨询： 纪老师手机（同微信号）15950596379 QQ：247546516邮箱247546516@qq.com 报名群号：初中解题研讨会(南京)QQ:583034828 共400席位，报满即停 QQ扫描下方二微码，加入“初中解题研讨会(南京)”报名群QQ:583034828 不好的消息是：本人的亲表哥，最近传来噩耗，进行了一个“轻松筹”的捐助活动，望广大好友，点开网址，帮帮他，献出一点点爱心，这个世界很美好， 在此，广猛先表示感谢之情！ 打开“轻松筹”链接，点击帮助ta，献出您的爱心：“ https://m2./project/love/love_v7.html?projuuid=8307b922-a41d-4982-84de-dcea504ed002&shareuuid=1602b92372e1-03331293f8-27604929-38400-1602b92372fe&sharecount=9&prevshareuuid=787a4c53-da09-11e7-9358-00163e13ff6b&prevtimestamp=2017120606161945375600458&platform=wechat&shareto=5×tamp=2017120619245173702236368” 我试了下，可以复制上面的网址，在浏览器中打开，总而言之，辛苦各位朋友了！再次感谢！  广猛亲表哥叫刘月亮，今年29岁，家境贫寒，原本靠着打鱼和做些零工为生，日子过的艰难但也勉强得以维持生计。 2013年，父亲的去世，使得原本困难的生活雪上加霜，巨大的生活压力落到了亮亮一个人的身上，照顾弟妹，安抚整日以泪洗面的母亲，打零工挣钱养家，高强度的劳作和心魔无情的腐蚀着他大好的青春年华，黝黑的皮肤，佝偻的背影，瘦弱的身躯，这完全不是一个29岁的青年人该有的样子，让人心疼！ 就在失去父亲的阴霾慢慢散去，生活也慢慢转好的时候，命运又和他开了个玩笑，2016年，他出了车祸，断了右腿，家中四处借钱治病，原本艰难度日的生活变得几乎无以为继，但是坚强的他似乎并没有向命运妥协，养好腿之后又扛起了长子的重担，因为他知道妈妈需要他，一家人都需要他。 然而老天好像并没有就此罢手，12月2日，在做电焊工时，巨大的钢管从船梁上坠落，重重的砸在了他的背上，脊椎被砸成多处断裂，下半身完全瘫痪无知觉，大小便失禁，我不知道最悲惨的人生是什么样子，但可能也就如此了吧。心痛！！！ 现在他急需脊椎手术费用，住院几天已经花费几万元，家中四处借钱，已经实在无力承担巨额的医疗费用，真心的希望大家能够帮帮他，伸出援助之手，献出绵薄之力，能够帮助他重新站起来，撑起这个家。 说了蛮多“废话”，接下来，“干货”到！ 数学解题的功力在于思维的能力，联想与构造是训练解题思维能力的有效途径.本文拟以一道课堂中的习题为引，畅谈与45°相关的解题机制，然后拓展到30°角，甚至任意角. 一、例题呈现 已知：点A（0，4），B（0，－6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则点C坐标为 ． 二、解法多探 此题精致，条件简洁，关键是如何利用45°角，教学中发现，多数学生无从下手.然而其解法甚多，笔者打算从联想构造的视角，提出几种适合学生的方法： 基本策略一：45°→等腰直角三角形→一线三直角 45°是一个神奇美妙的角，一个让人浮想联翩的角，我们的故事就是从45°角开始的. 依托于45°角，自然联想到构造等腰直角三角形，然后依托于等腰直角三角形，再构造“一线三直角”，这是处理45°角问题的基本策略. 如图1，若已知∠ACB＝45°，一般有四种方式构造直角三角形，  但建议将已知点作成直角顶点，相对而言会更简单些，这也体现出“以不变应万变”的解题策略，下面提供这四种解法，以供类比：     解法3：如图1－5，与解法1类似，下略；  解法4：如图1－6，与解法2类似，下略；  反思1：联想与构造，是一种重要的数学解题能力与品质，由45°角自然联想等腰直角三角形，再依托构造的等腰直角三角形，作“水平－竖直辅助线”，构造“一线三直角”结构，这也是数学中极其重要的改“斜”归正、化斜为直的思想方法，尤其是在平面直角坐标系中，“横平竖直辅助线”要成为解题习惯，勇于尝试，或许就能找到解题金钥匙； 上面的四种解法中，解法1与解法3将已知点A或B作成直角顶点，采用了直接设元的方式；而解法2与解法4，未知顶点D作成了直角顶点，只能采取间接设元的方式，相比之下，前者优于后者； 本题体现的还不是特别明显，有些题目若将直角顶点作成已知点，往往可以做到如行云流水般的口算解答，而后者可能要设“二元”，列两个方程方能解决问题，需引起注意. 基本策略二：一个45°→两个45°→母子型相似 在x轴上已有一个45°角，可以考虑在y轴上再补上一个45°角，构造“母子型相似”结构解决问题.  反思2：已知x轴上有一个45°角，在y轴上构造另一个45°角，从而产生一个“母子型相似”结构，利用勾股定理结合射影定理，设元列方程，顺利解决问题； 此法简洁明了，让人赏心悦目，值得细细品味； 既然可以在y轴正半轴上构造45°角，当然也可以在y轴负半轴上下功夫，如图1－8所示，不再赘述.  基本策略三：一个45°→三个45°→一线三等角 在x轴正半轴上已有一个45°角，可以考虑在x轴正半轴上再补上两个45°角，构造“一线三等角”结构解决问题.  反思3：相似是解决许多问题的一大重要工具，识别基本相似型属第一层次，而构造是更高层次，这就不仅要求认识基本相似型，而且要非常熟悉基本相似型的结构，从一些蛛丝马迹中能够联想到学过的或做过的基本图形，敢于尝试，勇于探索，杀出一条血路； 解法5与解法6都属于基本相似型的构造，有异曲同工之妙，可类比琢磨； 以常见的“一线三等角”为例，其应用分三重境界： 第一重境界：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，包括如图1－10所示的“同侧型一线三等角”以及图1－11所示的“异侧型一线三等角”； 第二重境界：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 第三重境界：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1－12及图1－13所示； 解法6就属于第三重境界，在x轴上已有一个45°角的基础上，再补上两个45°角，构造出“异侧型一线三等角”，从而解决问题. 此题还可以构造“同侧型一线三等角”解决问题，具体如下： 反思4：同理，也可以如图1－16所示构造，不再赘述； 更神奇的是，理论上，过点C任意作一条确定的直线，在该直线上补上两个45°角，与∠ACB＝45°，构成“一线三等角”结构，都可以解决问题，但计算繁简不一，一般取特殊的直线，如解法6至解法8. 结合“母子型相似”与“一线三等角”的两种构造方式，此题还有如下精彩解答： 反思5：相似是解决问题的基本手段之一，构造基本相似型是重要的解题之道，解法7的本质属构造“旋转相似型”，从而解决问题； 同理，也可以如图1－18所示构造辅助线，不再赘述. 基本策略四：“边对角”→辅助圆 辅助线的添加需要充分的联想，除了可以考虑直线型辅助线，若能识别“边对角”结构，常可以考虑构造辅助圆解题，其核心结构如图1－19所示. 反思6：“边对角”是一个重要的基本图形，“定边对定角”属于其内涵之一，其实应该还包括“定边对动角”、“动边对定角”等结构，值得探索与研究； 解法7中，敏锐地识别到“定边对定角”结构，构造辅助圆，将直线型问题转化为圆的问题.从确定性的角度分析，⊙M确定（圆心及半径都确定），它与x轴正半轴的交点C当然确定，必可求； 更重要的是，可以结合圆中的相关知识来计算，如垂径定理等； 探索无终点，思考无止境，笔者一直奇怪，前文的各种解法中，为何总出现x＝－2这个“增解”，结合辅助圆，方才恍然大悟，（－2，0）正是此圆与x轴负半轴的交点，若记此点为C′，则∠AC′B＝135°，原来如此，何其趣哉! 基本策略五：45°→两次对称→正方形中“半角模型” 45°角与直角之间有一段不解之缘，前者的两倍是后者，后者的一半是前者.在45°角内部找一点，关于45°角两边作对称，自然会产生倍角90°； 90°又与正方形（或矩形）有很深的渊源，若联想到正方形中“半角模型”，其核心结构及简证如图1－21所示，又会产生如下精彩解答： 反思7：正方形中“半角模型”是一个常见模型，解法9中，在已知∠ACB＝45°的基础上，通过两次对称的手段，巧妙构造出正方形，不自觉产生了“半角模型”，直接设元，利用勾股定理列出方程，顺利解决问题； 这也是一个常见的套路，需要细细咀嚼，琢磨后变为自己的解题之术. 基本策略六：45°→等腰直角三角形中“半角模型” “半角模型”除了存在于正方形中，还可以在等腰直角三角形中，其核心结构及简证如图1－23所示； 是否可以构造等腰直角三角形中“半角模型”呢？请看下面的解法： 反思8：“半角模型”是学生平时常遇到的习题或模型，解法9与解法10都是在∠ACB＝45°的基础上，联想构造“半角模型”来解题； 由此可见，平时做过的例习题或总结的基本图形等很可能是今后解题的重要工具，因此日常解题绝不能停留于题目本身，而应细琢磨其结构，多反思其用途与变化，使其成为自身的解题利器； 值得一提的是，上述两个“半角模型”可以完全呈现在同一个图中，如图1－25所示，便于记忆与理解，而此图中的相关结论多如鸿毛，探索之趣溢于言表. 基本策略七：45°→矩形大法→两角和为45°的正切公式 注：这里a与b都是锐角，a＞b＞0，可巧记为“后分子＝前分母－前分子；后分母＝前分母＋前分子”； 特别鸣谢：此法源自江苏省特级教师、常州市武进区教研员于新华（于boss）； 反思9：矩形大法，威力巨大，神奇构图，公式自现； 这个公式还可以通过构造正方形来证明，如图1－27所示； 此外，还可以拓展成更一般的形式，譬如： 当然，这其实是高中的两角和与差三角函数公式，但我们通过初中构图的方式，基本实现了“无字证明”，不亦乐乎，要有几何构造的情趣啊！ 至此，此题得到了比较完满的解答，可能还有其他的解法，但未必适合学生或者构造复杂，亦或者笔者能力不足.七大策略，全部掌握，灵活运用，实属不易. 三、变中寻通 一题多变，玩出精彩，45°变为30°又会怎样？135°呢？甚至于任意角呢？ 探索之门，已经敞开，让我们一起遨游吧！ 下面提供两道变式，一一对照七大策略，笔者给出简解图形，供参考之用： 变式1：如图2，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA＝4,OB＝6，且∠ACB＝45°，求OC的长． 策略二：30°→直角三角形→一线三直角 策略四：一个30°→三个30°→一线三等角 所谓“一线”，可以是水平线、竖直线、斜直线，甚至于任意线，有下面三种常见的构造方式，如图2－5所示，不再赘述. 策略五：“半角模型” 30°→两次对称→四边形中“半角模型”：如图 2－6所示，最后还需要解△ABF； 30°→等边三角形中“半角模型”：如图2－7所示，最后也需要解△BEF； 这两种解法，得不偿失，过于麻烦，呈现出来，只作了解，不必深入. 变式2：如图3，在△ABC中，CO⊥AB于点O，OA＝8,OB＝12，且tan∠ACB＝2，求OC的长． 策略一：定边AB对定角∠ACB→思构辅助圆 如图3－1，作△ABC的外接圆M，由图显知：OC＝OE＋CE＝16. 策略四：一个∠ACB→三个∠ACB→一线三等角 所谓“一线”，可以是水平线、竖直线、斜直线，甚至于任意线，有下面三种常见的构造方式，如图3－5所示，不再赘述，相对而言，“水平－竖直线”更简单些.
作“斜直线”，比较麻烦，而若构造“半角模型”，更是麻烦至极，直接扔掉. 两个变式，由简单到复杂，由特殊到一般，通过探究，可以发现：构造辅助圆是解决此类“边对角”问题的最佳方法，从头至尾，口算而已；“母子型相似”、“一线三等角”以及“矩形大法”都是解决此类问题的通解通法，但都需要结合方程思想解决问题，或直接设元，或间接设元，或巧设等；而“半角模型”仅仅较适合于45°角相关问题，更一般的角不太适合，计算繁琐. 四、类题巩固 题以类聚，法以通汇.笔者再提供系列类题，以巩固各法，体会万法朝宗，多题归一. 注：部分习题，学悟于各网友微信公众号，特此一并鸣谢. 此题是上面两小题的进化版本，需要先利用∠POA＝45°，构造等腰直角三角形，然后再造“一线三直角”，最后求交点坐标. 该解法从头至尾几乎口算完成，不需设元，缘在构造等腰直角三角形时，将已知点A作成了直角顶点，这一点值得关注，否则需要设元求解，稍显麻烦； 此外，也可以利用矩形大法得出的两角和为45°的计算公式秒杀： 此题是第3题的变式，依托确定的∠POA，先构造直角三角形，然后再造“一线三直角”相似结构，最后求交点坐标. 要求点P的坐标，只要求出直线OP的解析式，这就需要找到OP上除点O外的另一个点坐标，上述解法都是通过构造直角三角形，再造“一线三直角”结构，从而求出所需点B的坐标； 除了求点B外，还可以通过求点A绕着原点O顺时针旋转∠AOP所对应的点A′坐标，而这又是一个极其有趣的话题，请看下面三个核心问题： 问题1：已知点A（3，4），将点A绕原点O顺时针方向旋转45°角，求其对应点A′的坐标. 解析：一个图形的旋转（运动）本质是点旋转（运动）；反过来，一个点的旋转（运动）可以捆绑成一个图形的旋转（运动）； 第一步（“捆绑旋转”）：如图8－1，作AB⊥y轴于点B，则AB＝3，OB＝4； 本题中，点A绕原点O顺时针方向旋转45°得到点A′，可捆绑看成：Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转45°得到Rt△OA′B′，则A′B′＝3，OB′＝4，且∠BOB′＝45°； 第二步（“一线三直角”）：如图8－2，依托旋转后的Rt△OA′B′，作系列“水平－竖直辅助线”，构造“一线三直角”相似结构，即Rt△OCB′∽Rt△B′DA′； 事实上，△OCB′与△B′DA′都是等腰直角三角形； 问题2：已知点A（4，6），将点A绕原点O顺时针方向旋转a角，其中tana＝1/2，求其对应点A′的坐标. 解析：第一步（“捆绑旋转”）：如图8－3，作AB⊥y轴于点B，则AB＝4，OB＝6； 将Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转a角得到Rt△OA′B′，则A′B′＝4，OB′＝6，且tan∠BOB′＝tana＝1/2； 问题3：已知点A（a，b），将点A绕原点O顺时针方向旋转a角，求其对应点A′的坐标. 解析：不失一般性，不妨都在第一像限内思考问题： 第一步（“捆绑旋转”）：如图8－5，作AB⊥y轴于点B，则AB＝a，OB＝b； 将Rt△OAB绕原点O顺时针方向旋转a角得到Rt△OA′B′，则A′B′＝a，OB′＝b，且∠BOB′＝a； 第二步（“一线三直角”）：如图8－6，依托旋转后的Rt△OA′B′，作系列“水平－竖直辅助线”，构造“一线三直角”相似结构，即Rt△OCB′∽Rt△B′DA′； 故B′C＝bsina，OC＝bcosa，A′D＝asina，B′D＝acosa，点A′的坐标为（acosa＋bsina，bcosa－asina）. 此法是求一点绕着某定点旋转一定角的通解通法，易于实施，便于掌握，非常有趣，值得拥有. 上面的题3与题4，也可借助此法单独求出相应的点A′坐标后，再求直线OP的解析式，可自行探索，不再赘述. 注：此法学悟于八一常州之行（2017年8月1日），昆明郑帆大神于第一届数学行者大会上精彩报告，在此特别感谢，并感慨良多，多出去，勤学习，好处多多. 点评：解法1中，将已知点B作成了直角顶点，使得计算异常轻松，从头到尾几乎口算，其他类似解法，不再详述. 点评：解法2的构思，让笔者都直呼过瘾，巧妙而精彩，由此可见，本文中提及的几大策略是重要的解题法宝，需要灵活掌握并能应用娴熟，方可立于不败之地； 同理，也可以在y轴上补出一个45°角，构造“母子型相似”，求出直线AC与y轴的交点亦可，请自行探究； 此外，利用“母子型相似”的解题策略，笔者又有如下的“惊人之举”： 点评：解法3与解法2的本质相同，前者依托于目标点C去构造“横平竖直辅助线”，并结合相似技巧，“眼中有角，心中有比”，巧妙设元，顺利得解，真是让人“大跌眼镜”. 注：此法巧在设元上，“哪里有比例，哪里有巧设”，确定的角对应着确定的比，否则直接设出点的坐标，计算量将异常的大. 点评：此法表示AF、CF的长度时，理应过点C向EF作垂线，但因数据巧合性，垂足恰好为点E，故图中并未作出，特此说明； 另外，也可以锁定AC与x轴的交点，类似此法构造“一线三等角”结构，求出这个交点，然后联立直线AC与双曲线的解析式求出点C的坐标； 构造“一线三等角”时，所谓“一线”既可以是“水平线”，也可以是“竖直线”甚至于“斜线”，如图10－5及图10－6所示，不再赘述; 三种构造法大同小异，相对而言，此题反而构造“斜线”更简单，有趣有趣. 点评：此题采取“边对角→辅助圆”策略，相对而言，比较繁琐，缘在这里的边BD非定边，导致设元求解，锁定圆心，实施“横平竖直辅助线”，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解，相当于“动边对定角”； 此外，借助辅助圆策略，此题还可以如图10－8构造△ABD的外接圆交x轴于另一个点E，则∠BEO＝∠BAD＝45°，从而OE＝OB＝2，点E的坐标为（2,0），则AE⊥x轴，于是AD为直径，从而∠ABD＝90°，再实施“一线三直角”解题策略，也可解题，但此法取决于数据巧合，不甚推荐. 此外，也可以如图10－10所示构图，不再赘述； 若是构造等腰直角三角形中“半角模型”，也并非不可以，如图10－11所示，构造等腰Rt△ADE，可证E、B、D三点恰好共线； 基本策略七：45°→“12345”秒题技 此即于头另一绝招“12345秒题技”，这个结论还可以构造常见的“倍半角模型”得到，如图10－13所示，由此结论可以快速秒题，同解法7； 此外，这个图形丰富多彩，还可以得到以下神奇数据，用于秒题，往往事半功倍： ⑥可以看作②的推导，尤其是等式“1”＋“2”＋“3”＝180°，让人感叹造物主之神奇，如图10－14所示，这里的红色数字指相应角的正切值，而蓝色数字指三边比例，记住这些边角关系，往往可以口算答案. 拿本题来说，还有如下解法： 解法8：如图10－15，由“1/2”＋45°＝“3”，可知tan∠DAG＝3，故DG＝6，点D的坐标为（0,－3），下略. 基本策略八：45°→“捆绑旋转” 解法8：如图10－16，将定点B绕定点A逆时针旋转45°至点B′，则点B′落在AC上； 第一步（“捆绑旋转”）：如图10－17，作AG⊥y轴于点G，则AG＝2，BG＝1； 点B绕点A逆时针旋转45°得到点B′，可捆绑看成：Rt△ABG绕点A逆时针旋转45°得到Rt△AB′G′，则AG′＝2，B′G′＝1，且∠GAG′＝45°； 第二步（“一线三直角”）：如图10－18，依托旋转后的Rt△AB′G′，作系列“水平－竖直辅助线”，构造“一线三直角”相似结构，即Rt△AEG′∽Rt△G′FB′； 点评：解法8计算量略微大些，给人一种“杀鸡牛刀”之感，构造看似复杂，却是套路，都是“横平竖直辅助线”，这是坐标系中常见的解题策略，体现了改斜归正的思想方法，“捆绑旋转”确实是解决有关夹角问题的一类通解通法. 类比各法，针对本题，“12345”秒题技最莱斯，可实现秒杀；“一线三等角”（含“一线三直角”）以及“母子型相似”都是不错的解法，计算量不大，又是常用的解题套路；而构造辅助圆以及“捆绑旋转”稍显麻烦. 像这样的解题后类比与反思是不可多得的学习好方法，教育家弗赖登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解就不可能从原有水平升华到更高水平.” 题7.（2017年浙江丽水）如图11，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）. (2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA＝∠ABO，则m的值是________. 点评：解法1中，将已知点C作成了直角顶点，使得计算异常轻松，从头到尾几乎口算.另外，还需狠抓确定的∠PAO，“眼中有角，心中有比； 其他类似解法，如过点A作CP或AP的垂线等，不再赘述. 点评：构造“母子型相似”解决此题，简单地让人不可思议.几何之美，溢于言表，数学好玩，玩好数学.同学们，爱上数学，爱上几何吧！ 点评：这里的“一线”，也可以是“水平线”或者“斜线”，譬如图11－4所示，不再赘述; 相对而言，“竖直线”最简单. 利用关键条件∠CPA＝∠ABO，可推得：∠OPC＝∠BAP，据此还可以有如下精彩解法： 基本策略四：“边对角”→辅助圆 解法5：如图11－6，作△ACP的外接圆⊙M，可证明圆心M刚好落在AB上，不再详述. 点评：此题依然相当于“动边对定角”，相对而言，比较繁琐，不推荐使用. 基本策略五：45°→“半角模型” 点评：此题用这两种“半角模型”解决太累，计算复杂，不推荐使用. 点评：“12345”如同外星人留下的神秘语言般，让人感叹于头之恐怖、数学之神奇. 第二步（“矩形大法”）：如图11－11，依托旋转后的Rt△PO′C′，作系列“水平－竖直辅助线”，构造矩形PQGH，则Rt△PHO′∽Rt△O′GC′； 另外，也可以如图11－12所示构图，在Rt△ADC′中，直接利用tan∠DAC′＝1/2求解，可自行探究. 题8.（来源：上海黄喆大神的微信公众号“吉吉初中数学小站”）如图12，再矩形ABCD中，E是边AB上的一点，AE＝2，BE＝4，连接DE，作∠DEF＝45°交边BC于点F，若AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式. 其他类似解法，譬如过点D或点F作EF的垂线等，不再赘述. 点评：这里的“一线”，也可以作成“水平线”或者“斜线”，如图12－5及图12－6所示，利用△NEF∽△MDE均可解决问题，不再赘述. 利用∠A＝∠B＝90°，还有如下精彩的“双一线三直角”解法： 基本策略四：构造“相依型相似”（注：此法来源于黄喆大神） 解法6：如图12－8，分别在AD、BC上取点M、N，使AM＝AE＝2，BN＝BE＝4，则∠AME＝∠AEM＝∠BNE＝∠BEN＝45°，从而有：∠EMD＝∠FNE＝135°且∠MEN＝90°； 由∠DEF＝45°，导角可得：∠MED＋∠NEF＝45°，又∠MED＋∠MDE＝45°，故∠NEF＝∠MDE； 点评：“相依型相似”源于上海黄喆老师，笔者对其极感兴趣，总有种感觉，这又是处理此类“张角问题”的另一通法，值得大家揣摩； 另外，“相依型相似”的一般形式如图12－9所示，通过导角可以推出：最后构造的两对阴影三角形相似.彼此守望，相偎相依，取名“相依型相似”，再恰当不过，有趣有趣； “相依型相似”与“一线三等角”有异曲同工之妙，构造也有雷同之处，其应用应该也极其广泛，需引起广泛关注. 基本策略六：45°→“捆绑旋转”＋“矩形大法” 解法8：第一步（“捆绑旋转”）：如图12－11，将Rt△EBF绕点E逆时针旋转45°至Rt△EB′F′，则EB′＝EB＝4，B′F′＝BF＝y，且∠BEB′＝45°； 第二步（“矩形大法”）：如图12－12，依托旋转后的Rt△EB′F′，作系列“水平－竖直辅助线”，构造矩形GHKF′，则Rt△EHB′∽Rt△B′GF′； 点评：类比各法，针对本题，“矩形大法”得到的两角和正切公式最莱斯，可实现秒杀；“一线三等角”（含“一线三直角”）以及“相依型相似”都是不错的解法，计算量不大，也是常用的解题套路； 若是采取构造辅助圆或者“半角模型”的话，计算量更大，强烈不推荐. 最后，再提供一道以抛物线为背景的“张角问题”： 点评：类似地，也可以过点P作垂线等，但不推荐，否则直角顶点未知，需要再设元解题，而解法1直角顶点D已知，故而顺风顺雨； 理论上，在直线CD上任取一个已知点，将之作成等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图13－2所示，可自行探究. 点评：对于此类的“张角问题”，可以其一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出与此张角相等的角，从而构成“母子型相似”结构，这是解决“张角问题”的一类通解通法，比较好用，值得拥有，其核心结构如图13－4所示. 点评：因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P、D的纵坐标相等，故过它们向y轴作垂线时，垂足重合，即为图中的G点，这个巧合导致作图稍受干扰，注意即可； 另外，这里的“一线”，也可以作成“水平线”或“斜线”，请自行探究，一般情况下，选择现成的“一线”比较适恰. 点评：“12345”秒题技，技近乎道，神乎其神，简单地令人发指，其根本原因在于数据的特殊性，很多时候命题人要考虑到数据的简单、计算的方便，不可避免地要设计成“12345”相关数据，故而其应用极广，专用来秒题. 第二步（“矩形大法”）：如图13－10，依托旋转后的Rt△CD′E′，作系列“水平－竖直辅助线”，构造矩形CGHK，则Rt△CGE′∽Rt△E′HD′； 点评：通过前面的解法探究可以看出，紧抓45°不放手，紧扣一条主线“45°构造等腰直角三角形构造K字形全等”，总是可以将此类题型秒杀在无形之中，当然也可以构造平时解题中积累的其他模型，如“半角模型”等； 其实45°仅仅是一个特例、一个代表，将45°改为30°等特殊角，甚至于改成更一般的已知三角函数值的某个确定角，都可以类似解决. 题10.如图14，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m＋1)在第一像限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标． 此题，主要针对第（3）小问探究，且给出部分解法，其他解法自探，另外对此进行适当变式，以寻求此类问题的通解通法； 解析：（1）易求得抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4； （2）将点D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中可得m＝3（m＝－1舍去），故点D的坐标为(3，4)； 由C(0，4)及D(3，4)，可知CD平行于x轴，即C、D两点一定是抛物线上的两个对称点； 令y＝0，得B（4，0），则OB＝OC＝4，从而△BCO是等腰直角三角形，故∠BCO＝45°，且∠BCD＝45°； 因而D(3，4)关于直线BC的对称点D′必然落在y轴上，如图14－1所示，且CD′＝CD＝3，即点D′(0，1)； 对于第（3）小问： 基本策略一：45°→等腰直角三角形→一线三直角 解法1：下面提供两种构造法，并简要分析繁简程度： 方式一：如图14－2，则Rt△DMQ≌Rt△QNB； 设DM＝QN＝a，MQ＝NB＝b，利用MN＝OC＝4，可得：a＋b＝4；利用BN－DM＝BO－DC＝1，可得：b－a＝1； 点评：上述两种构造等腰直角三角形的方法都属于解决此类问题的通解通法，但繁简程度不一：前者要求的Q点坐标是构造的等腰直角三角形的直角顶点，换言之依托∠DBP＝45°构造的等腰直角三角形的直角顶点被作成了未知的顶点，导致只能列二元一次方程组求解之；而后者所作的等腰直角三角形的直角顶点为点D，是已知点，要求此时的Q点坐标，只需构造K字型全等，口算即可，简单至极； 看来由45度联想构造等腰直角三角形，还不能“任性”，虽然“条条大路都可通罗马”，但崎岖程度不一啊，耗时、计算都不一样，最好将“已知点”作成等腰直角三角形的直角顶点，这样会使你的计算“一马平川”，也体现了“以不变应万变”的数学思想方法. 基本策略二：基于确定性分析下的导角转化法 解法2：注意到∠DBP＝∠CBO＝45°，则有：∠DBC＝∠PBA； ∠DBC是确定的，从而∠PBA也是确定的，确定的必可求； 点评：转化无处不在，没有转化，就没有数学； 当然也可以“增量巧设”：设P（4－5t，3t），其中t＞0，再代入抛物线求解即可； 其他解题策略不再赘述，可自行尝试其他解法. 变式1：在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，求点P的坐标． 简析：由∠DBP＝135°，可知其补角为45°，从而问题转变为玩转45°，前面的解法再来一遍即可，譬如图14－5所示，注意这里的点P是直线BQ与抛物线的另一个交点，限于篇幅，并未画出，但不影响求解； 易知：点Q的坐标为（7，5），下略. 点评：一个灵巧的转化犹如一次华丽的转身， 135°问题转化为了45°问题，玩转45°不在话下，数学的趣味性不言而喻，做一个灵动的数学人. 变式2：在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且tan∠DBP＝2，求点P的坐标． 简析：如图14－6，易得Rt△DMQ∽Rt△BND，由tan∠DBP＝2，可知其相似比为2，从而口算得出：Q（－5,2），下略. 点评：变式2完成了从“玩转45°”到“玩转任意角”的重大突破，个中乐趣，回味无限； 另外，即便针对这种一般性问题，前面提及的若干解题策略依然适用，不再赘述. 五、练习提升 最后提供几道网上淘来的相关习题，供大家练习之用： 练习1：如图15，在平面直角坐标系中，点A（－1,0），B（0,3），C是x轴负半轴上的一点，且∠ABC＝45°，求点C的坐标.         （1）求抛物线的解析式； （2）点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线CD于点F．若点P的横坐标为m，设线段PF的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使∠PCF＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．         （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值； （3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请直接写出使∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标. 通过本文的探究，可以看出，解决此类“边对角”问题，即所谓“张角问题”，有以下七种常见的处理策略：①构造“母子型相似”；②构造“一线三等角”；③构造“辅助圆”；④构造“半角模型”；⑤构造“矩形大法”；⑥“12345”秒题技；⑦“捆绑旋转”等，如何灵活运用，何以应对自如，这就需要同学们在今后的学习中慢慢体悟，方可变为自己的解题套路，称为传说中的“学霸”.（哈哈……） |
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