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解法1：看到45°，30°特殊角，直接构造垂线
①PC⊥AB，得到两个特殊角三角形 ②构造一线三垂直全等，得到△AEC≅△CDP ③构造一线三垂直相似，得到△BFC∼△CDP
④计算求出m的值、a的值（计算的时候注意整体思想） 解法2：以45°构造等腰直角三角形
①构造等腰直角三角形ABC ②构造一线三垂直全等，△AEB≅△BDC ③解△ABP，得到AQ:QB=1:√3，从而得到AP:PC=1:√3 ④△AOP∼△AGC，求得a的值； 解法3：四点共圆＋相似
①特殊角构造直角三角形，PD⊥AB ②A、O、P、D四点共圆，同弦所对的圆周角相等，所以∠DOP=∠DAP=45°； ③构造等腰直角△OEF； ④△ADO∼△BDE
⑤从而求出a的值； 解法4：三点共圆的的巧妙运用
①以A、P、B三点构圆 ②结合上图，A、P、C、B四点共圆；所以： ∠ABP=∠ACP=30°；（同弧所对圆周角相等） ∠BCD=∠PAB=45°；（对角互补、邻补角互补） ③解三角形，很容易算出OC=√3AO=6√3；CD=BD=3； ④所以a=6√3+3 |
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