2018扬州中考数学压轴题全解析！！！

本系列将针对2018年全国各地中考数学压轴题，结合本人新著《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》进行详细解析。

本文选择的是2018年江苏扬州卷中的压轴题.

一、例题解析

第7题：（2018扬州）如下图（左），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD，交AB于点E，则下列结论一定成立的是                        （        ）

 A.BC＝EC                B.EC＝BE          

 C.BC＝BE                D.AE＝EC

简析：如上图（中），导角可得∠BCE＝∠BEC，故BC＝BE，选C.

反思：当“射影型”结构邂逅了角平分线，会生成等腰三角形，再如上图（右）所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BF平分∠ABC，交CD于点E，交CA于点F，则△CEF为等腰三角形.

反思：本题先识别“旋转相似必成对”，导边导角；再辅以“对顶相似必成对”，导边导角，其核心结构如下图所示；

若结合四点共圆，如下图所示，本题还有更多的边角关系以及相似三角形等；

本题还可以将两个等腰直角三角形变成两个等边三角形，或变成更一般的两个相似三角形等.

第17题：（2018扬州）如下图（左），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8,0），点C的坐标为（0,4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为           .

反思：这是一道折叠小题，解法多样，笔者最钟情上述解法，其本质是求一定点关于定直线的对称点的通解通法，本人新作《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》中有详细阐述，敬请查阅《斜化直策略》；

该法还涉及折叠的重要性质，即对称点的连线被折痕垂直平分，再抓住不变角，“眼中有定角，心中导定比”，巧施三角比，实现口算答案之效；

本题还有很多其他诸多解法，譬如构造“一线三直角”、“倍半角模型”、“角平分线＋平行线→等腰三角形”等各种思路，如下图所示，不再展开，请自行思考；

类比几种解法，谁更简便，不言而喻.有时候，追求一题多解的目的正是寻求更简法.

第18题：（2018扬州）如下图（左），在等腰Rt△ABO中，∠A＝90°，点B的坐标为（0,2），若直线l：y＝mx＋m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为                         .

反思：在网格中，求一个角的三角函数值，当其顶角为非格点时，往往可以利用网格进行平移的方法，将非格点问题转化为格点问题，然后构造直角三角形或结合面积法等求解，而且平移方法多样，如本题中第（3）问可以如上图（右）所示平移；

利用网格平移法求三角函数值的方法，可以参见下题：

类题：（2017年江苏无锡）在如下图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD＝       ．

简析：如下图所示的各种构造方式，都可求得tan∠BOD＝3.

反思：可以发现，将非格点问题转化为格点问题，只要借助网格构造平行线的方式，“怎么平移都可以”，实在有趣，让人可叹“小小的网格，大大的文章”;

此外，基于角的确定性分析，还可以结合矩形大法或“12345秒题技”等来求两角和的三角函数值，此处不再详述，可参阅相关文章；

关于平移变换在几何解题中的应用，请参见以下两道类题：

反思：上述解法相当于将线段CE平移至AF位置，构造平行四边形以及等腰直角三角形，进而求解；

此外，还可以将CE平移至DF位置，如上图（右）所示等，请自行探究.

类题2：如图2，在RtDABC中，∠C＝90°，点M在边BC上，且MB＝AC，点N在边AC上，且AN＝MC，AM与BN交于点P，求证：∠BPM＝45°.

分析思路：题中已有两组相等线段，但条件分散，而且与所求结论好不搭界，直接应用不太现实，如何才能将它们集中在一块，这必然成了解题之关键所在.平移变换再次为解题指明方向，提供线索.下面是经过若干次平移尝试后得到的五种解法，供大家类比探究.

解法一：如图2－1，构造□BMAG，将线段MB平移至AG处，再连接GN交AM于点H，易得RtDACM≌RtDGAN，则有GN＝AM＝GB，且GN⊥AM，从而∠BGN＝∠PHN＝90°，故DBGN为等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠GBN＝45°，问题得解.

反思：解法三与解法四都是通过构造平行四边形，将已知中涉及的比较分散的等线段平移至点N或M处，从而产生等腰直角三角形.平移变换在解决此类条件比较离散的问题中作用之大不言而喻.

更有趣的是下面的解法五，依然通过构造平行四边形来平移分散等线段，竟然还得出了学生熟知的“一线三直角”全等K字型结构，再次体现出平移变换的神奇之效.

 解法五：如图2－6，构造□ANBG，将线段NA平移至BG处，再连接GA、GM，同理可得DGAM为等腰直角三角形，因此有∠BPM＝∠GAM＝45°，问题得解.

反思：前面五种解法的共通之处是平移变换，其作用是将分散条件集中在一块，进而产生一些为人熟知的结构，推导出“意外的”等腰直角三角形，最终得到所需的45°角.

为开拓思维，下面笔者再提供一些有趣的代数想法：

反思：在解法五图的基础上，若将其补成矩形，如图2－9，这也是一种重要的“矩形大法”构造方式，在此图的基础上也可以解决问题，极其有趣.

解法六主要用到了三角函数以及“矩形大法”，不妨称之为“三角法”，属于代数法中极其重要的一个分支，可以解决很多诸如此类的问题.

当然此题还可以完全采取“建系解析法”“暴力计算”求解：

反思：本题的多种解法主要涉及平移变换法，将分散条件集中化，越聚合越有利.平移为我们解决相关问题指明方向，为我们的几何构造提供了主要依据；

另外，三角法及解析法等也是应用极其广泛的通解通法，给我们的解题研究开辟了一些新的道路，还有初中阶段“矩形大法”处理任意两角和差倍分角，都在很大范围内适用.

反思：本题第（2）问是一个典型的相似三角形存在性问题，这里采取所谓“SAS”解法，即抓住一对关键相等角，然后该角的两邻边分两类成比例，有关相似三角形存在性问题的其他解法，详见本人新书《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》；

第（3）问是一个角的存在性问题，只是结合了一个简单的倍半角关系，因目标角含有一条水平边或竖直边，故可构造直角三角形，直接利用正切处理，其核心结构如右图所示；

当目标角的两条边既不含有水平边，也不含有竖直边时，一般也可以先构造直角三角形，再构造“一线三直角”，其核心结构如下图所示.

这里其实也算是正切处理，但因为构造的直角三角形三边都是斜置的，不好表示，因而继续构造“一线三直角”，达到化斜为直之效，而这里的tana提供了相似比；

有关角的存在性问题处理策略以及倍半角模型等都是本人新作《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》中重点阐释的专题，敬请查阅.

大咖助阵，感谢于特！