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45°的条件在平面几何中比较常见，与45°联系最为紧密的图形无非是等腰直角三角形或正方形。看到等腰直角三角形你能联想到什么？对，是”K”型全等；看到含45°角的正方形你又能想到什么呢？对，是半角模型。“K”字型与半角模型本头条号曾经作过有关介绍，本文着重介绍构造''K“字型的处理策略。 【例1】 （难度系数☆☆☆☆）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，点E在BC上,∠EDB=45°，BE=5CE，CD=3,求AB的长。 【解法一】 第一步：构造“K”字型 作EF⊥DE交BD于F，作FH⊥BC ∵∠BDE=45°，EF⊥DE ∴△DEF是等腰直角三角形 ∴DE=DF ∵∠DEC+∠FEH=90° ∠EFH+∠FEH=90° ∴∠DEC=∠EFH ∴Rt△DEC≌Rt△EFH ∴CE=FH,EH=DC 第二步：利用“A”型相似计算 设CE=x,则BE=5x,FH=x，EH=CD=3,BH=5x-3,BC=6x ∵△BHF∽△BCD 第三步：利用“斜A型”相似求AB 当x=1时，CB=6,作DG⊥AB ∵BD平分∠ABC ∴DG=DC=3 设AG=a,AD=b ∵Rt△ADG∽Rt△ABC 当x=1.5时，不合题意，舍去。综合上述，AB=10 【解法二】 第一步：变异的''K“字型 作HB⊥DB，交DE的延长线于H，作HF⊥BC 易证Rt△BCD≌Rt△HFB ∴CD=FB，HF=BD 第二步：利用“X”型相似计算 设CE=x,则BE=5x,EF=5x-3,BC=HF=6x ∵Rt△CDE∽Rt△FHE 第三步：利用“斜A型”相似求AB 同方法一，略。 【总结】 此题的解法一是构造一线三直角模型之”K“字型，解法二是构造一线三直角模型之变异”K“字型，两种解法大同小异。除了构图，解题关键都离不开相似，并且大量运用了用同一个字母表示不同的线段，方程思想，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论等，而这些恰恰是初中数学之利器，其重要性可窥一斑！建议同学们阅读之后，自己独立动手计算一遍。 【解题感悟】 四十五度有诀窍， 等腰直角少不了。 倘若仍然无法求， 再造一线三直角。 |
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