试题内容
如图，等腰Rt△DCE可以绕等腰Rt△ACB的顶点C旋转，∠DCE=∠ACB=90°，AC=CB，DC=CE.点F、H、G分别是DE、AB、EB的中点，连接FH、GH.
【问题解决】
(1)如图1，∠FHG= ；
【问题探究】
(2)如图2，连接AE，若AE=BE，求:；
【问题拓展】
(3)若AC=2 ，旋转等腰Rt△DCE，当DE//BC，且以B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出FH的长.
解法分析(1)
手拉手全等+八字形相似
根据SAS证明：△ACE≅△BCD，
进而证明：AE=BD，AE⊥BD.
等腰直角三角形
根据中位线定理，证明：
HG=AE，HG∥AE，FG=BD，FG∥BD，
进而证明：HG=FG，HG⊥FG，
即：△FGH是等腰直角三角形，
所以：∠FHG=45°.
解法分析(2)
由(1)得：HG=AE，△FGH是等腰直角三角形，
所以：FH=HG=AE=BE，
所以：=.
解法分析(3)
线段的转化
由探究过程可得：
HG=AE=BD，
所以：FH=HG=×BD=BD，
“求FH的长”可以转化为“求BD的长”.
变中不变
由题意得：BC和DE是对边，
因为△CDE是等腰直角三角形，
所以△CBD(E)也是等腰直角三角形(BC为斜边).
标准图
1.以BC为直径作圆O；
2.将45°三角板如图放置，它的直角边与圆O交于上、下两点.
【情况1】
根据题意补全图形，如左图：
△CBD是等腰直角三角形.
所以：BD==2，
所以：FH=.
【情况2】
根据题意补全图形，如右图：
△CBE是等腰直角三角形.
作BM⊥DE，交DE的延长线于点M，
根据勾股定理求得：
BD=2，
所以：FH=.
综上所述：FH的长为或.
易错警示
(2)中结论不可延续使用.
