例。如图,平行四边形 ABCD 中,BC = BD. 点 F 是线段 AB 的中点. 过点 C 作CG⊥DB 于点 G,延长 CG 交 DF 于点 H,且 CH = DB. (1) 若 DH = 1. 求 FH 的值; (2) 连接 FG. 求证: DB = √(2)FG + HG. (1) 解:如下图 ,在平行四边形 ABCD 中:BC = AD. 又∵BC = BD,CH = DB.(已知) ∴BC = BD = CH = AD. ∴ △ABD 与 △BHC 都是等腰三角形. 又∵点 F 是线段 AB 的中点. ∴ DF⊥AB. 又∵CG⊥DB . ∴ 点 B, G, H, F 共圆. ∴∠DHC = ∠FBD. 又 AB∥CD, DF⊥AB. → DF⊥CD . ∴∠CDH = ∠DFB = 90°. 又∵CH = DB. ∴ Rt△DHC ≌ Rt△FBD. ∴ DH = FB,CD = DF . 又 DF⊥CD . ∴ △CDF 是等腰直角三角形. ∴∠DFC = 45°. 又∵DF⊥AB . ∴∠BFC =∠DFC = 45°. 又连接 FC 交 BH 于点 O,交圆于点 M. 则 HM = BM. 又∵CH = CB, CM = CM. ∴ △CMB ≌ △CMB. ∴∠HMC = ∠BMC , 故 ∠HMF = ∠BMF. ∴ FH = FB. ∴ FH = FB = DH = 1. (2) 证明:如图 2,由(1)的解答知:DF⊥FB,FH = FB. ∴ △BFH 是等腰直角三角形. 由(1)的解答知: 点 B, G, H, F 共圆, 且 HM = BM. ∴∠HMB = 180°- ∠HFB = 180°- 90° = 90°. ∴ △BMH 是等腰直角三角形. ∴四边形 BMHF 是正方形, 点 O 是此正方形的外心. 又CH⊥DB → 点 G 在圆O 上. → ∠CGM =∠HFM =45°. ∵FM 是圆O 的直径,∴ FH⊥HM , FG⊥GM. 延长 GM 到点N ,使 GN =GF,则得等腰直角 △FGN. ∴ NF =√(2)FG,∠N = 45°= ∠CGM . 又∵ FH⊥HM , FD⊥BF, FD⊥DC. ∴BF∥MH∥CD,又由(1)知:HF =DH. ∴FM = CM. 又 ∠GMC =∠NMF ∴ △GMC ≌ △NMF. ∴ GC = NF =√(2)FG. ∴ DB = CH = CG + HG = √(2)FG + HG. 证毕! |
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