【原】子群的陪集

我们已经讨论过子群的概念，现在让我们对子群及其相关的概念做进一步的讨论。还是以 D₃ 群为例，它有4个子群：

H₁={e,d,f}，H₂={e,a}，H₃={e,b}，H₄={e,c}

考虑 H₁ 这个子群，用不属于该子群的任意一个群元左乘这个子群的各个群元：

aH₁={a,b,c}，bH₁={b,c,a}，cH₁={c,a,b}

把所得到的形如 aH₁ 这样的集合称为 H₁ 的以 a 为代表群元的左陪集。对其余三个子群，也可以得到相应的左陪集：

dH₂={d,c}，fH₂={f,b}，bH₂={b,f}，cH₂={c,d}

dH₃={d,a}，fH₃={f,c}，aH₃={a,d}，cH₃={c,f}

dH₄={d,b}，fH₄={f,a}，aH₄={a,f}，bH₄={b,d}

观察上述各个子群的左陪集不难发现这样的共同点，这些共同点也适用于任何一个群：

1.左陪集没有单位元素，不构成一个群；

2.一个群的某个子群及其全部左陪集包含了这个群的全部群元；

3.同一个子群的不同代表群元对应的左陪集要么相等，要么没有相同的群元。比如说，对子群 H₂，dH₂=cH₂，它们与 fH₂=bH₂ 没有相同的群元。这意味着一个子群的左陪集如何选择代表群元有一定的任意性，对子群 H₂，既可以选择 d 和 f，也可以选择 d 和 b，等等；

4.某个子群的每一个左陪集包含的群元数目与该子群的阶相同。比如说 H₁ 这个子群有三个群元，它的每一个左陪集都有三个群元。

根据第二和第三个性质，一个群可以按某个子群及其全部不相等的左陪集分解。比如说对 D₃ 群：

D₃=H₁⊕aH₁=H₁⊕bH₁

=┉=H₂⊕dH₂⊕fH₂

=H₂⊕bH₂⊕cH₂=┉

容易论证，有限群的阶必定能被它的子群的阶整除。假设群 G 的阶为 n，它的一个子群 H 的阶为 nh，有 k-1 个不相等的左陪集。由第二和第三个性质可知，H 及其全部不相等的左陪集包含了 G 的全部群元，根据第四个性质马上可以得到 n=knh。这意味着有限群的阶必定能够被其子群的阶整除，所得的商 k 称为该子群的指数。比如说， D₃ 群是一个六阶群，它的其中一个子群 H₁ 是三阶的，对应的指数 k=2。如果 k=1，则 nh=n，G 的这个子群就是 G 自身；如果 k=n，则 nh=1，G 的这个子群就只包含单位元素。上述两种子群被称为平凡子群，在其他情况下，G 的子群被称为真子群。以上结果也意味着一个素数阶的群没有真子群。

既然有左陪集的概念，就必定有右陪集的概念。所谓右陪集，就是在上述对左陪集的陈述中，用右乘代替左乘。右陪集具有与左陪集相同的性质。一般情况下，一个子群以某个群元为代表群元的左陪集与右陪集并不相等，比如说对 D₃ 群的 H₂ 子群，它的右陪集为

H₂d={d,b}，H₂f={f,c}，H₂b={b,d}，H₂c={c,f}

显然，dH₂≠H₂d。当然，也有一些子群，它们的左陪集和右陪集是相等的。还是以 D₃ 群为例，它的子群 H₁ 的右陪集为

H₁a={a,c,b}，H₁b={b,a,c}，H₁c={c,b,a}

结果发现，H₁ 的三个左陪集和三个右陪集全部相等。把具有这种性质的子群称为不变子群。可以用严格的数学语言将不变子群的概念表述为：设 H 是 G 的一个子群，如果对任意的 g∈G 都有 gH=Hg，则称 H 为 G 的不变子群。不变子群也叫正规子群。