详解全等三角形中辅助线的添加，与中点相关的题型，

初中数学几何三角形部分的内容，是整个初中阶段最重要的知识点，也是最重要的考点，同时也是难点。在做几何证明题的时候，常常需要通过全等三角形研究两条线段(或角)的相等关系或者转移线段或角，而在解决这部分问题提时，经常会用到添加辅助线来完成最终的证明。今天和同学们一起学习一下全等三角形中与中点相关的题型辅助线的添加方法，通过例题的形式，希望能够总结出这类题目的解题方法，达到触类旁通的目的。

在证明几何题目的过程中于中点相关的题型，常见的辅助线的做法是倍长中线法。如果AD是△ABC中BC边的中线，辅助线：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，可得△ADC≌△EDB。

例1. 如图，在△ABC中，点D为BC的中点.（1）求证：AD<1/2（AB+AC).（2）若AC=9，AB=5，求AD的取值范围.

【解析】解：（1）证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，

在△ACD和△EBD中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴△ACD≌△EBD，

∴AE=2AD，BE=AC，在△ABE中，AE＜AB+BE，即AE＜AB+AC，

∴AD<1/2(AB+AC).

（2）由（1）知，1/2|AB-AC|<AD<1/2(AB+AC)，

∵AC=9，AB=5，∴2<AD<7.

例2. 如图，在△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE=EF. 求证：AB=CF.

【解析】解：（1）证明：延长FD至H，使DH=FD，连接BH，

在△FCD和△HBD中，FD=DH，∠FDC=∠HDB，CD=BD，∴△FCD≌△HBD，∴CF=BH，∠H=∠CFD，∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∵∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠F，∴AB=BH，

∴AB=CF.

例3. （1）如图1所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E是线段AC上一动点，连接DE，线段DF始终与DE 垂直且交于BC于点F，试猜想线段AE+BF与EF之间的数量关系，并加以证明.

（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E是线段AC延长线上的动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F. 问（1）中的结论是否成立？若成立请写出关系式，若不成立，请说明理由.

【解析】解：（1）AE+BF>EF，理由如下：

延长ED至H，使DH=DE，连接BH，FH，∵D是AB中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDH中，

∵AD=BD，∠BDH=∠EDA，DH=DE，∴△ADE≌△BDH，∴BH=AE，∵DF⊥DE，

∴∠FDE=∠FDH=90°，在△FDE和△FDH中，∵FD=FD，∠FDE=∠FDH，DH=DE，

∴△FDE≌△FDH，∴EF=FH，在△BFH中，BH+BF>FH,即AE+BF>EF.

（2）成立，理由如下，

延长ED至H，使DH=DE，连接BH，FH，∵D是AB中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDH中，

∵AD=BD，∠BDH=∠EDA，DH=DE，∴△ADE≌△BDH，

∴BH=AE，∵DF⊥DE，∴∠FDE=∠FDH=90°，

在△FDE和△FDH中，∵FD=FD，∠FDE=∠FDH，DH=DE，∴△FDE≌△FDH，

∴EF=FH，在△BFH中，BH+BF>FH,即AE+BF>EF.

例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE=AF.求证：DE=DF.

【解析】证明：连接AD，在△ABC中，∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，

即∠ADC=∠ADB=90°，∵EF∥BC，∴∠FAD=∠EAD=90°，在△ADF和△ADE中，

∵AD=AD，∠FAD=∠EAD，AE=AF，∴△ADF≌△ADE，∴DE=DF.