中考数学线段数量关系探索

几何中的基本图形就是线段。与线段有关的问题主要是考查数量关系与位置关系。

线段的数量关系的问题比较多，有2条、3条或者4条之间的关系。

简单的就是相等、倍数，乘积或者勾股、截长补短等等各种关系。方法考查相似、全等、勾股等居多。

其中以下地区都有涉及：

2019·泰安、2019·怀化、2019·大庆

2019·柳州、2019·兰州、2019·广元

2019·苏州、2019·天门、2019·岳阳

2019·泰州、2019·聊城、2019·广东

2019·荆门、2019·孝感、2019·常德

2019·黄石、2019·河池、2019·毕节

2019·宜昌、2019·宜昌、2019·深圳

2019·广西、2019·黄石、2019·杭州

2019·成都、2019·湘西、2019·哈尔滨

【中考真题】

一、3、4条线段的比例或乘积关系

1．（2019·泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．

（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；

（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE·AB＝DE·AP；

【分析】

题（1）比较基础，主要是证明菱形的四条吧相等来证明菱形；

题（2）设计4条线段的乘积关系，首先想到的就是转化为比例式，再找三角形相似。

如果AE与DE组成三角形，那么AB与AP也组成三角形。

AE·AB＝DE·AP

发现两个三角形并不相似。

如果AE与AP组成三角形，则AB、DE无法组成三角形。

AE·AB＝DE·AP

因此题目暗示需要进行转化才可以。

由题目中AE⊥DE，PE⊥CE，可以得到∠AEP=∠DEC。

观察易得△AEP∽△DEC。

所以把AB用CD来代换即可。

【答案】（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，

∴∠AGP＝∠APG，

∴AP＝AG，

∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，

∴PA＝PF，

∴PF＝AG，

∵AE⊥BD，PF⊥BD，

∴PF∥AG，

∴四边形AGFP是平行四边形，

∵PA＝PF，

∴四边形AGFP是菱形．

（2）证明：如图②中，

∵AE⊥BD，PE⊥EC，

∴∠AED＝∠PEC＝90°，

∴∠AEP＝∠DEC，

∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠EAP＝∠EDC，

∴△AEP∽△DEC，

∴AE/DE=AP/DC，

∵AB＝CD，

∴AE·AB＝DE·AP；

【总结】

绝大多数的乘积比例问题都是转化为相似来求解。常常需要等量代换进行转化。

2．（2019·广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，tanB=1/2，求PA的长；

（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（3）AB²＝4OE·OP

如图2，∵PC切⊙O于C，

∴∠OCP＝∠OEC＝90°，

∴△OCE∽△OPC

∴OE/OC=OC/OP，即OC2＝OE·OP

∵OC=1/2AB

∴(1/2 AB)²=OE⋅OP

即AB²＝4OE·OP．

3．（2019·泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为　      　．

【答案】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，

则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，

∵PA⊥BC，

∴∠PAC＝90°，

∴∠PAC＝∠PBD，

∴△PAC∽△PBD，

∴PB/PA=PD/PC，

∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，

∴x/3=10/y，

∴xy＝30，

∴y=30/x，

故答案为：y=30/x．

4．（2019·哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）

A．AM/BM=NE/DE

B．AM/AB=AN/AD

C．BC/ME=BE/BD

D．BD/BE=BC/EM

【答案】解：

∵在▱ABCD中，EM∥AD

∴易证四边形AMEN为平行四边形

∴易证△BEM∽△BAD∽△END

∴AM/BM=NE/BM=DE/BE，A项错误

AM/AB=ND/AD，B项错误

BC/ME=AD/ME=BD/BE，C项错误

BD/BE=AD/ME=BC/ME，D项正确

故选：D．

三、证明线段相等

5．（2019·聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．

（1）求证：EC＝ED；

【答案】（1）证明：连接OC，

∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，

∴OC⊥CE，

∴∠OCA+∠ACE＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠ACE+∠A＝90°，

∵OD⊥AB，

∴∠ODA+∠A＝90°，

∵∠ODA＝∠CDE，

∴∠CDE+∠A＝90°，

∴∠CDE＝∠ACE，

∴EC＝ED；

备注：证明等腰

6．（2019·广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．

（1）求证：ED＝EC；

【答案】解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∴∠BCD＝∠ADC，

∴ED＝EC；

7．（2019·河池）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．

（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；

【答案】（1）证明：∵AE＝DC，

∴(AE) ̂=(DC) ̂，

∴∠ADE＝∠DBC，

在△ADE和△DBC中，{■(∠ADE=∠DBC&@∠E=∠BCD&@AE=DC&)┤，

∴△ADE≌△DBC（AAS），

∴DE＝BC；

备注：全等

三、线段倍数关系

8．（2019·毕节市）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．

（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；

【答案】解：（1）∵AB是直径

∴∠ACB＝90°，

∵∠A＝30°，

∴AB＝2BC

∵PC是⊙O切线

∴∠BCP＝∠A＝30°，

∴∠P＝30°，

∴PB＝BC，BC=1/2AB，

∴PA＝3PB

9．（2019·黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB=√3：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH/CF=（　　）

A．√3/2 B．(2√3)/3 C．√6/2 D．3/2

【答案】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD=√3a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，tan∠ABD=AD/AB=√3/1，

∴BD＝AC=√(AB^2+AD^2 )=2a，∠ABD＝60°，

∴△ABE、△CDE都是等边三角形，

∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．

∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，

∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA=√3a．

在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，

∴GM=1/2BG＝1，BM=√3GM=√3，

∴DM＝BD﹣BM＝2a-√3．

∵矩形ABCD中，BC∥AD，

∴△ADM∽△GBM，

∴AD/BG=DM/BM，即(√3 a)/2=(2a-√3)/√3，

∴a＝2√3，

∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2√3，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4√3．

易证∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，

∴△ADF是等边三角形，

∵AC平分∠DAF，

∴AC垂直平分DF，

∴CF＝CD＝2√3．

作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．

如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2√3），B′（3，﹣2√3），E（0，√3），

易求直线B′E的解析式为y=-√3x+√3，

∴H（1，0），

∴BH=√((3-1)^2+(2√3-0)^2 )=4，

∴BH/CF=4/(2√3)=(2√3)/3．

故选：B．

10．（2019·杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若∠BAC＝60°，

①求证：OD=1/2OA．

【答案】解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD=1/2∠BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，

∴OD=1/2OB=1/2OA；

备注：特殊的三角形30°，考虑倍半。

四、垂径定理

11．（2019·成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．

（1）求证：弧AC=弧CD；

【答案】证明：（1）∵OC＝OB

∴∠OBC＝∠OCB

∵OC∥BD

∴∠OCB＝∠CBD

∴∠OBC＝∠CBD

∴弧AC=弧CD

五、线段和差关系

12．（2019·宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．

（1）填空：点A　在　（填“在”或“不在”）⊙O上；当(AE) ̂=(AF) ̂时，tan∠AEF的值是；

（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；

【答案 】（2）∵EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∠AFE+∠DFH＝90°，

∴∠AEF＝∠DFH，

又FE＝FH，

∴△AEF≌△DFH（AAS），

∴AF＝DH，AE＝DF，

∴AD＝AF+DF＝AE+DH；

13．（2019·宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．

（1）填空：点A　在　（填“在”或“不在”）⊙O上；当(AE) ̂=(AF) ̂时，tan∠AEF的值是；

（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；

（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；

【答案】（3）延长EF交HD的延长线于点G，

∵F分别是边AD上的中点，

∴AF＝DF，

∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，

∴△AEF≌△DGF（ASA），

∴AE＝DG，EF＝FG，

∵EF⊥FH，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH+DG＝DH+AE，

∴EH＝AE+DH；

14．（2019·常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．

（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；

（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；

【答案】（2）∵△BMC≌△CNB，

∴BM＝NC，

∵PE∥AB，

∴△CEP∽△CMB，

∴PE/BM=CP/CB，

∵PF∥AC，

∴△BFP∽△BNC，

∴PF/NC=BP/BC，

∴PE/BM+PF/BM=CP/CB+BP/CB=1，

∴PE+PF＝BM；