1，三角形：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
2，全等三角形：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。
3，等腰三角形：灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。
4，直角三角形、勾股定理、面积了解直角三角形的判定与性质，理解直角角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
5，角平分线、垂直平分线了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
6.平行四边形理解并掌握平行四边形的判定和性质
7.矩形、菱形理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。
8.正方形理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。
9.梯形掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。
10.三角形、梯形的中位线掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。
11.锐角三角函数本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin 、cos、tan、cot准确表示出直角三角形中两边的比（ 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值
12.解直角三角形本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。
13. 三角函数的综合运用本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。
14.比例线段本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
15.相似三角形（一）本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。
16.相似三角形（二）本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用
17.相似形的综合运用（一）会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。
18.相似形的综合运用（二）本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。
19.圆的有关概念和性质1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；
2、理解弦弧、半圆优弧、同心圆等圆、等弧弓形、圆心角圆周角等与圆有关的概念；
3、掌握圆心角弧、弦弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。
20.垂径定理1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
21.切线的判定与性质 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
22.与圆有关的角1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；
2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；
3、掌握圆周角定理及其推论；
4、掌握弦切角定理及其推论；
5、掌握各角之间的转化及其综合运用。
23.圆中成比例的线段1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
24.圆与圆（一）
1、掌握圆与圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的关系，掌握圆与圆的位置关系的三种判定方法。
2、掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，相切两圆的连心线必过切点等性质。25.圆与圆（二）
1、掌握两圆的内外公切线长的性质和求切线长的方法（转化为解直角三角形）。
2、掌握有关两圆的内、外公切线的基本图形，以及这类问题添加辅助线的方法，会结合圆的切线的性质解决有关两圆公切线的问题。
26.正多边形和圆
1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；
2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；
3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；
4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。
1.三角形
考点：
理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
精典例题：
【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且a>b ，那么这个三角形的周长 的取值范围是（ ）
A、3a>L>3b B、 2(a+b)>L>2a
C、2a+b>L>2b+a D、 3a-b>L>a+2b
分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。
答案：B
变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（ ）
A、1＜AB＜29 B、4＜AB＜24 C、5＜AB＜19 D、9＜AB＜19
评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。
【例2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝450，∠ACB＝610，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求∠DAE的度数。
分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠DAE的度数。
略解：∵AB＝DB，AC＝CE
∴∠D＝ ∠ABC，∠E＝ ∠ACB
∴∠D＋∠E＝ （∠ABC＋∠ACB）＝530 
∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270
探索与创新：
【问题一】如图，已知点A在直线 外，点B、C在直线 上。
（1）点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A；
（2）试判断在△ABC外，又和点A在直线 的同侧，是否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论。
分析与结论：
（1）连结AP，易证明∠P＞∠A；
（2）存在，怎样的角与∠A相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所对且顶点在弧A B，和弧A C上的圆周角都与∠A相等，因此点Q应在弓形A B和A C内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。
【问题二】如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D。问：△AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？
分析与结论：
（1）DE是△AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD＋AE＝BE＋BC＋CD
（2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。
略解：在等边△ABC中，∠B＝∠C＝600
又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D
∴∠BPE＝∠CPD＝300
不妨设等边△ABC的边长为1，BE＝ ，CD＝ ，那么：BP＝ ，PC＝ ， ，而AE＝ ，AD＝
∴AE＋AD＝
又∵BE＋CD＋BC＝
∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD
从而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE
即△AED的周长等于四边形EBCD的周长。
评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。
跟踪训练：
一、填空题：
1、三角形的三边为1， ，9，则 的取值范围是 。
2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。
3、在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度。
4、如果△ABC的一个外角等于1500，且∠B＝∠C，则∠A＝ 。
5、如果△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是 。
6、如图，在△ABC中，∠A＝800，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝ 。
7、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝ 。
8、纸片△ABC中，∠A＝650，∠B＝750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。
9、在△ABC中，∠A＝500，高BE、CF交于点O，则∠BOC＝ 。
10、若△ABC的三边分别为 、 、 ，要使整式 ，则整数 应为 。
3.等腰三角形
知识考点：
灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。
精典例题：
【例1】等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ）
A、300 B、600 C、1500 D、300或1500
分析：如图所示，在等腰△ABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，∴在Rt△ABC中有答案D。
【例2】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，D是AC上一点，AE⊥BD的延长线于E，又AE＝ BD，求证：BD是∠ABC的角平分线。
分析：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形（证明略）。
探索与创新：
【问题一】如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G，试问：你能确定∠AED和∠AGF的大小关系吗？
分析与结论：依题意有△ADE≌△FDC，△EDF为等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝∠AEF＋∠EAG，事实上∠EAG与∠DEG都等于450，故∠AED＝∠AGF。
评注：加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示∠AED、∠AGF，从而比较其大小是本题的解题关键。
【问题二】在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。例如正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD。请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。
略解：（1）AB＝AD＝DB＝DC＝BD，AC
（2）AB＝AC＝AD＝BC，BD＝DC
（3）AB＝AC，AO＝BO＝CO＝DO
（4）AB＝BC＝AC，AO＝BO＝CO
（5）AB＝AD＝CD，AC＝BC＝BD
评注：本例突破了常规作图题的思维形式，是一道很好的开放型试题，要求学生既要善于动脑，又要善于动手。
跟踪训练：
一、填空题：
1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为 。
2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，则∠C＝ 。
3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为 。
4、在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为 。
5、如图，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为 。
6、如图，D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，则∠BPD＝ 。
7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，已知下列四个式子：
①∠1＝（∠2＋∠3） ②∠1＝2（∠3－∠2）
③∠4＝（∠3－∠2） ④∠4＝ ∠1
其中有两个式子是正确的，它们是 和 。
二、选择题：
1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（ ）
A、500 B、650 C、1300 D、500或650
2、如图，D为等边△ABC的AC边上一点，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，则△ADE是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、不等边三角形 D、等边三角形
3、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
4、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长是（ ）
A、30 B、33 C、36 D、39
5、如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝ DC＝ DE，则∠D＝（ ）
A、300 B、450 C、600 D、67.50
三、解答题：
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求证：△DEF是等腰三角形。
2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
3、如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：AC＝2BD。
4、在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论。
参考答案
一、填空题：
1、300；2、720；3、；4、360；5、360；6、300；7、①③
二、选择题：DDDAC
三、解答题：
1、证△DBE≌△ECF
2、提示：分两种情况讨论。不妨设AB＝10米，作CD⊥AB于D，则CD＝6米。
（1）当AB为底边时，AC＝BC＝ 米；
（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB＝AC＝10米，BC＝ 米；
（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB＝BC＝10米，AC＝ 米；
3、提示：延长AD交BC于点M。
4、△ADE为等边三角形。
4.直角三角形、勾股定理、面积
知识考点：
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？
分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：
【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。
答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）
探索与创新：
【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：
（小时）＝24（秒）
评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。
【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。
由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。
（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。∴EF＝60 （千米）。
∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为 （小时）。
（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－ ＝6.5（级）。
评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如果直角三角形的边长分别是6、8、 ，则的取值范围是 。
2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝ 。
3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。
4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝ 。
5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为 。
6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝ 。
7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝ 。
8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝ 。
9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。
二、选择题：
1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ）
A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确
2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（ ）
A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能确定
4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝ ，OA＝OC＝，则∠OAB的度数为（ ）
A、100 B、150 C、200 D、250
三、解答题：
1、阅读下面的解题过程：已知 、 、 为△ABC的三边，且满足
，试判断△ABC的形状。
解：∵ ……①
∴ ……②
∴ ……③
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）错误的原因是 ；
（3）本题的正确结论是 。
2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝ ，求AB、AC的长。
3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。
（1）求证：G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE。
4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；
（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。
参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090
5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程 的两个实数根，第三边BC＝5。
（1） 为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2） 为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。
参考答案
一、填空题：
1、10或 ；2、16.9；3、1350；4、 cm2；5、；6、5；7、4
8、7；9、49
二、选择题：BDCB
三、解答题：
1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形
2、提示：过A作AD⊥BC于D，则AB＝ ，AC＝
3、提示：连结ED
4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。
5、（1）2；（2） ＝4或3，当 ＝4时，面积为12。
4.直角三角形、勾股定理、面积
知识考点：
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。
精典例题：
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？
分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。
答案：
【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。
分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。
答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）
探索与创新：
【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。
略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：
（小时）＝24（秒）
评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。
【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。
由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。
（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。∴EF＝60 （千米）。
∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为 （小时）。
（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－ ＝6.5（级）。
评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如果直角三角形的边长分别是6、8、 ，则的取值范围是 。
2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝ 。
3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。
4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝ 。
5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为 。
6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝ 。
7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝ 。
8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝ 。
9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。
二、选择题：
1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ）
A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确
2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（ ）
A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能确定
4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝ ，OA＝OC＝，则∠OAB的度数为（ ）
A、100 B、150 C、200 D、250
三、解答题：
1、阅读下面的解题过程：已知 、 、 为△ABC的三边，且满足
，试判断△ABC的形状。
解：∵ ……①
∴ ……②
∴ ……③
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；
（2）错误的原因是 ；
（3）本题的正确结论是 。
2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝ ，求AB、AC的长。
3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。
（1）求证：G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE。
4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；
（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。
参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090
5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程 的两个实数根，第三边BC＝5。
（1） 为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2） 为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。
参考答案
一、填空题：
1、10或 ；2、16.9；3、1350；4、 cm2；5、；6、5；7、4
8、7；9、49
二、选择题：BDCB
三、解答题：
1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形
2、提示：过A作AD⊥BC于D，则AB＝ ，AC＝
3、提示：连结ED
4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。
5、（1）2；（2） ＝4或3，当 ＝4时，面积为12。
6.平行四边形
知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质
精典例题：
【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO＝DO
略证：连结BF、DE
在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
又∵AF＝CE
∴FD∥BE，FD＝BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO＝DO，即点O是BD的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）
变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形。
变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。
变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。
探索与创新：
【问题】已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度数。
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。
略证：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC
∴ME⊥BC
在△BEM和△AMC中，
ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE＝450
∵AM∥NE
∴∠BPM＝∠BNE ＝450
跟踪训练：
一、填空题：
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长的取值范围是 。
2、□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝ 。
3、已知□ABCD中，AB＝2AD，对角线BD⊥AD，则∠BCD的度数是 。
4、如图：在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为 。
5、如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EF⊥BC于F，∠1＝300，∠2＝450，OD＝，则AC的长为 。
6、如图：过□ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BF＝ BE，BC＝16，∠EBF＝300，则AB＝ 。
7、如图所示，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE∶AF＝2∶3，∠C＝1200，则平行四边形ABCD的面积为 。
二、选择题：
1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ）
A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm
2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ）
A、DE＞BF B、DE＝BF C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF
3、如图，已知M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与□ABCD的面积之比是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，□ABCD中，BD＝CD，∠C＝700，AE⊥BD于E，则∠DAE＝（ ）
A、200 B、250 C、300 D、350
5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ）
A、以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边
B、以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边
C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边
D、以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边
6、如图，□ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O，若□ABCD的面积为4，则＝（ ）
A、3.5 B、4 C、4.5 D、5
7、在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点O，则□ABCD的面积等于（ ）
A、48 B、 C、 D、
三、解答题：
1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC＝600，BE＝2，CF＝1，连结DE交AF于点P，求EP的长。
2、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且 ＝ ＝ ＝ ＝ （＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：
如上图，连结BD
∵ ＝ ， ＝
∴EH∥BD，FG∥BD
①连结AC，则EF与GH是否一定平行，答： ；
②当值为 时，四边形EFGH是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC和BD只需满足 条件时，EFGH为矩形；
④在②的情形下，对角线AC和BD只需满足 条件时，EFGH为菱形；
3、已知，在四边形ABCD中，从①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，D、F分别为AC、AB的中点，点E在BC的延长线上，∠CDE＝∠A。
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若 ，四边形EBFD的周长为22，求DE的长。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、1＜ ＜6；2、9；3、600；4、12；5、8；6、 或12.8；7、 cm2；
二、选择题：DBCABCC
三、解答题：
1、提示：由∠B＝∠ADC＝600，BE＝2，AE⊥BC可得AB＝4，再证DF＝DC－CF＝3，∴AD＝6，EC＝BC－BE＝4＝DC，又∠BCD＝1200，∴∠EDC＝300，求得∠APE＝∠EAP＝600，△AEP为等边三角形，EP＝AE＝。
2、①是；②任意正数；③BD⊥AC；④AC＝BD
3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③
4、（1）证EC∥DF，ED∥CF；（2）DE＝5
7.矩形、菱形
知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。
精典例题：
【例1】如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数。
分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。
解略，答案450。
【例2】如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长。
分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。
解略，答案AF＝4.5。
【例3】如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一动点，DE⊥AM，垂足为E，3AB＝2BC，并且AB、BC的长是方程的两根。
（1）求 的值；
（2）当点M离开点B多少时，△ADE的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由。
分析：用韦达定理建立线段AB、AC与一元二次方程系数的关系，求出 。
略解：（1）由韦达定理可得AB＋BC＝ ，AB·BC＝ ，又由BC＝ AB可消去AB，得出一个关于 的一元二次方程 ，解得＝12， ＝ ，因AB＋BC＝ ＞0，∴ ＞2，故 ＝ 应舍去。
（2）当 ＝12时，AB＋BC＝10，AB·BC＝ ＝24，由于AB＜BC，所以AB＝4，BC＝6，由 可得AE＝3EM＝ AM。易证△AED∽△MBA得 ＝ ，设AE＝ ，AM＝ ，则MB＝，而AB2＋BM2＝AM2，故 ，解得 ＝2，MB＝＝4。即当MB＝4时， 。
评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。
探索与创新：
【问题一】如图，四边形ABCD中，AB＝ ，BC＝，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知道AD的长吗？
分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。
略解：作AE⊥CB的延长线于E，DF⊥BC的延长线于F，再作AG⊥DF于G
∵∠ABC＝1350，∴∠ABE＝450
∴△ABE是等腰直角三角形
又∵AB＝ ，∴AE＝BE＝
∵∠BCD＝1200，∴∠FCD＝600
∴△DCF是含300的直角三角形
∵CD＝6，CF＝3，DF＝
∴EF＝ ＝8
由作图知四边形AGFE是矩形
∴AG＝EF＝8，FG＝AE＝
从而DG＝DF－FG＝
在△ADG中，∠AGD＝900
∴AD＝ ＝ ＝ ＝
【问题二】把矩形ABCD沿BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。
分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。
2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是 cm。
3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝ cm，则DE＝ cm。
4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝ 。
5、如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝ 。
二、选择题：
6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（ ）
A、仅能作一个 B、可以作四个
C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB。
A、1 B、2 C、3 D、4
8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ）
A、4cm、 cm B、5cm、 cm
C、4cm、 cm D、5cm、 cm
9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（ ）
A、①② B、③④ C、③ D、①②③④
10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形
三、解答题：
11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
12、如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，求证：四边形GECF是菱形。
13、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答下列问题（不要求证明）：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、180；2、20cm；3、3；4、 ；5、200
提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF是等边三角形。
二、DDBBA
三、解答题：
11、可证△DEA≌△ABF
12、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB，EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF，∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF。四边形GECF是平行四边形，又因EG＝FG，故GECF是菱形。
13、（1）平行四边形；（2）∠BAC＝1500；（3）当∠BAC＝600时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。
8.正方形
知识考点：
理解正方形的性质和判定，并能利用它进行有关的证明和计算。
精典例题：
【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H。求证：AH＝AD。
分析：因为A是DG的中点，故在△DGH中，若AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH为直角三角形（证明略）。
评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使本题证明简单。
【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ。
分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明。
变式：若条件改为PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你还能得到哪些结论？
探索与创新：
【问题一】如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。
分析：对于图1通过全等三角形证明OE＝OF，这种证法是否能应用到图2的情境中去，从而作出正确的判断。
结论：（2）的结论“OE＝OF”仍然成立。
提示：只须证明△AOF≌△BOE即可。
评注：本题以正方形为背景，突破了单纯的计算与证明，着重考查了学生观察、分析、判断等多种能力。
【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A、P两点间的距离为 。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ是否可能成为等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的值；如果不可能，请说明理由（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。
分析：（1）实验猜测：PQ＝PB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转化为三角形面积求；（3）可能。
略解：（1）如图1，易证BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝1800－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ
∴PB＝PD＝PQ
（2）如图2，易证△BOP≌△PEQ
∴QE＝PO＝AO－AP＝
∴
∴ （0≤ ＜ ）
（3）△PCQ可能成为等腰三角形。
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时 ＝0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）。此时，QN＝PM＝ ，CN＝ CP＝，所以CQ＝QN－CN＝ ，当 时，解得 。
评注：本题是一道新颖别致的好题，它考查学生实践操作能力和探究问题的能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。
2、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE＝AC，AE与CD边相交于F点，那么CE∶FC＝ 。
3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形 的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC＝，则正方形移动的距离 是
。
4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。
二、选择题：
1、如图，把正方形ABCD的对角线AC分成 段，以每一段为对角线作正方形，设这 个小正方形的周长和为 ，正方形ABCD的周长为，则 与的关系式是 。
A、 ＜ B、 ＞ C、 ＝ D、 与 无关
2、如图，在正方形ABCD中，DE＝EC，∠CDE＝600，则下列关系式：①∠1∶∠4＝4∶1；②∠1∶∠3＝1∶1；③（∠1＋∠2）∶（∠3＋∠4）＝5∶3中，正确的是（ ）
A、①②③ B、仅① C、仅②和③ D、仅①和③
3、如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值为（ ）
A、10 B、11 C、12 D、15
4、有若干张如图所示的正方形和长方形纸片，表中所列四种方案能拼成边长为的正方形的是（ ）
|
数量（张） 卡片
方案 |
（1） |
（2） |
（3） |
|
A |
1 |
1 |
2 |
|
B |
1 |
1 |
1 |
|
C |
1 |
2 |
1 |
|
D |
2 |
1 |
1 |
三、解答题：
1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AF⊥BE。
2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。
（1）求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。
3、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。求证：（1）AP＝EF；（2）AP⊥EF。
4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，作AE＝AC，又CF∥AE，求证：∠BCF＝ ∠AEB。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、③；2、；3、 ；4、②
二、选择题：CDCA
三、解答题：
1、易证△ABF≌△CFB和△BAE≌△CDE，由△ABF≌△CFB ∠AFB＝∠BFC ∠FAD＝∠DCE；由△BAE≌△CDE ∠DCE＝∠ABF。所以∠DAF＝∠EAB，故∠EHA＝∠EAB＝900，AF⊥BE。
2、（1）如图1，取AD中点F，连结MF，由MN⊥DM得∠DAM＝900，易证∠1＝∠2，又因∠MNB＝∠NBE－∠2＝450－∠2，∠DMF＝∠AFM－∠1＝450－∠1，所以∠DMF＝∠MNB，又因DF＝BM，所以△DMF≌△MNB，故MD＝MN。
（2）成立，如图2，在AD上取DF＝MB，则易知：∠1＝900－∠DMA，又∠2＋∠DMA＝900，∴∠1＝∠2，又∠DMF＝450－∠1，∠MNB＝450－∠2，∴∠DMF＝∠MNB，又DF＝MB，∴△DMF≌△MNB，故MD＝MN。
3、略证：延长AP与EF相交于点H，连结PC，因为BD是对角线，易证PA＝PC，∠1＝∠2，根据PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF为矩形，PC＝EF，且∠DAH＝∠FPH，又因为∠1＝∠2＝∠3，所以在△PHF中，∠FPH＋∠3＝∠4＋∠1＝900，所以△PHF为直角三角形，故AP⊥EF。
4、提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形。
9.梯形
知识考点：
掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。
精典例题：
【例1】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，中位线EF＝7，对角线AC⊥BD，∠BDC＝300，求梯形的高AH。
分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。
略解：过A作AM∥BD交CD的延长线于M。
∵AB∥DC，∴DM＝AB，∠AMC＝∠BDC＝300
又∵中位线EF＝7
∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝2EF＝14
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AM，AC＝ CM＝7
∵AH⊥CD，∴∠ACD＝600
∴AH＝ ＝
评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。
【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠B＋∠C＝900，AD＝7，BC＝15，求EF的长。
分析：将AB、CD平移至E点构成直角三角形即可。
答案：EF＝4
探索与创新：
【问题】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD＝ ，BC＝ 。
（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，求证：EF∥BC且EF＝ ；
（2）如图2，如果 ，判断EF和BC是否平行？请证明你的结论，并用 、 、 、 的代数式表示EF。
分析：（2）根据（1）可猜想EF∥BC，连结AF并延长交BC的延长线于点M，利用平行线分线段成比例定理证明即可。
略证：连结AF并延长交BC的延长线于点M
∵AD∥BM， ，
∴在△ABM中有
∴EF∥BC，
∴EF＝ ＝
而 ，故
∴EF＝ ＝ ＝
评注：本题是一道探索型试题，其目的是考查学生观察、归纳、抽象、概括、猜想的能力，它要求学生能通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，并能概括地用数学公式表达出来。
跟踪训练：
一、填空题：
1、梯形的上底长为3，下底长为7，梯形的中位线所分成的上下两部分的面积之比为 。
2、等腰梯形中，上底∶腰∶下底＝1∶2∶3，则下底角的度数是 。
3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠C＝600，则AB的长为 。
4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＝ ，CD＝ ，那么AB的长是
。
5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，BD＝4，AC＝3，则梯形ABCD的面积是 。
6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E＝400，则∠ACD＝ 度。
二、选择题：
1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则对角线所用的竹条至少需（ ）
A、 cm B、30 cm C、60 cm D、 cm
2、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高，下列结论：①∠BCD＝600；②四边形EHCF是菱形；③ ④以AB为直径的圆与CD相切于点F。其中正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝450，∠C＝1200，AB＝8，则CD的长为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，在直角梯形ABCD中，底AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，并且AD＝12，则A到BC的距离为（ ）
A、12 B、13 C、10 D、12×21＋13
5、如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC＝BC＋AD则∠DBC的度数为（ ）
A、300 B、450 C、600 D、900
三、解答题：
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，在AB、DC上各取一点F、G，使BF＝CG，E是AD的中点。求证：∠EFG＝∠EGF。
2、已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，D是底边上任意一点，过D作BC的垂线交AC于M，交BA的延长线于N。求证：DM＋DN＝2AH。
3、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，延长BD到E，使DE＝DB，作EF⊥BA的延长线于点F，求AF的长。
4、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD＝600，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB＝8，CD＝6，求 的值。
（3）若 ∶ ＝4∶5，求CD∶AB的值。
5、如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于 的方程 的两根，并且 ∶ ＝1∶5。
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在的直线解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作 轴的平行线，交 轴于F，交BC于D，过D点作 轴的平行线交轴于E，使 ，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、2∶3；2、600；3、 ；4、 ；5、6；6、150
二、选择题：CBAAC
三；解答题：
1、证△AFE≌△DEG；
2、作AH⊥MN于N，则MN＝MH，AH＝MH＋MD易证NH＋DM＝AH；
3、2
4、（1）连结CS、BP；（2）∵SB＝ DO＋OB＝11，CS＝ ，BC＝ ＝ ，SQ＝ ，∴ ＝ ；
（3）设CD＝ ，AB＝ ， ＝ 。∴ ＝ ，又 ∶ ＝ ∶ ，则 ＝ ，∵ ∶ ＝4∶5，∴ 。整理得： ， ，又∵ ，∴ 。即：
。
5、（1）AC＝1，OB＝5；（2）C（1，2）；（3）存在， （ ，1）， （ ， ）
