中考数学解题策略大盘点（3）

三、解题的常用方法

3.化折为直

化折为直：定点间的几条折线段在一条直线上时，其和最小。另有：点到直线的所有连线中垂线段最小。这里的“直”理解为“直线”或“垂直”。注意：化折为直的前提是“几条连续折线在两个定点之间，或在定点与定线之间”，若不满足需先进行变换转化。

例13.（1）如图①，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是边上任意一点，则PC的最小值为        ．

（2）如图②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值.

（3）如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把ΔBEF沿EF翻折，点B的对应点为P点，连接AP、CP，四边形APCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由．

问题（1）直接求点C到AB的距离。

问题（2）中折线CM、MN居于轨迹线BD同侧，无法化直，所以要先把CM或MN翻折变换到另一侧，以便化直，这样转化为点到线的最短路径问题。如下图，CM+MN=C′M+MN，C′N′即为其最小值，在ΔCC′N′中利用三角函数可求得为24/5×4/5=96/25。

同样可以把MN沿BD翻折至MN′，N′的轨迹即是把BC翻折后的BC′，转化为求C点到直线BC′的最短路径，即CH的长。

问题（3）中可先确定P点轨迹为以E为圆心以BE为半径的圆弧，把四边形APCD面积最小转化为ΔAPC面积最小，再转化为高PH最小，即求圆E到直线AC的最短路径，过E作AC的垂线，所得PH即为最小值，求得四边形APCD的面积最小值为15/2。

4.改斜归正

改斜归正：由于坐标的本质是水平竖直方向的距离，所以坐标系中往往把斜向线段的关系转化为正向（水平竖直方向）线段的关系解决。

例14.抛物线y=0.5x²+1.5x-2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P为抛物线在第三象限的一个动点，作PH⊥BC于H.

（1）求PH的最大值；（2）若∠HPC=2∠ABC，求点P的横坐标.

问题（1）中PH的长不易表示，可以作PN⊥x轴交BC于M，设P（x，0.5x²-1.5x-2），M（x，-0.5x-2），则PM=-0.5x²+x，PH=2√5/5PM，转化为求PM的最大值。

问题（2）可先确定∠HPC=2∠ABC的大小，再作K形相似把斜向关系转化为正向关系解决。如下图，作∠ODC=2∠ABC，易得tan∠ODC=4/3：

再以改斜归正法构造相似形，如下图，相似比为HC:HP=4/3，即可把斜线段的关系转化为直角边的关系（这就是改斜归正的最大优越性），易得P（-11a，-2-2a），代入函数表达式即可求得P点横坐标为-29/11。

5.移花接木

移花接木： 问题中的表面形式变化而主体条件不变时，其方法思路完全相同，可以相互迁移；或后续问题包含前题模型，可以直接套用前题模型得出结论。

例15.已知：△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：

(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+√3，PA=√2，则：

①线段PB=       ，PC=       ；

②猜想：PA、PB、PQ三者之间的数量关系为           ；

(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论成立吗，请说明理由；

(3)若动点P满足PA/PB=1/3,求PC/AC的值.

问题（1）（2）所含模型及思路方法完全相同：手拉手全等得RtΔBPQ，易知PA²+PB²=PQ²。

问题（3）直接用前面结论求PQ，注意分类讨论：设PA=a，PB=3a，PQ=√10a，PC/AC=PQ/AB=√10/4或√10/2。

6.运动变换

运动变换：问题中条件孤立无联系，所含模型隐蔽，通过把关键图形运动变换以产生新关系新模型以解决问题。常见运动变换的识别线索有：（1）共点等线用旋转；（2）共线等角用翻折；（3）平行线间用平移；（4）倍分关系用缩放；（5）和差关系用截补。

例16.如图，四边形ABCD中，AB=AC，E是BC的中点，∠BAE=∠ADC，AB:AD=2:3，BC=2，CD=5，求BD的长.

题中条件分散联系较少，由∠BAE=∠ADC导角得∠ABC+∠ADC=90°，以此想到作∠ADF=∠ABC可构造直角（和差关系用截补），由AB:AD=2:3想到构造ΔADF与ΔABC相似（倍分关系用缩放），由AB=AC想到旋转ΔABD或ΔACD（共点等线用旋转），上述几个线索都指向下面的构造方法：

上述构造都出现了一对全等三角形，一对相似三角形（等腰），一个直角三角形（ΔCDF或ΔBDF），从而获得完整的模型建立关系，易求BD的长为√34。

例17.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，BD⊥CD，AC=4，BC-AB=3，当ΔACD的面积最大时，AD=      .

题中有角平分线BD，由“共线等角用翻折”把ΔBCD沿BD翻折到ΔBED；也可根据条件BC-AB=3，由“和差关系用截补”把BA延长截AE=3则得BE=BC，它们指向同一种图形构造，如下图，ΔACD的面积为ΔACE面积的一半，转化为求ΔACE的面积最大值，AE、AC为定值，显然当AE⊥AC时其面积最大，易得此时AD=1/2CE=2.5。

7.分类讨论

分类讨论：当问题存在多种可能情况时，按不同情况分类分别解决。注意分类应不重不漏，严谨全面，并指明数量的取值范围或图形的位置范围。

例18.已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为     .

分类：（1）OP=OD=5，（2）PD=OD=5，（3）OP=PD=5（不存在）。用轨迹定位法作圆可知OP=OD时有一个点；PD=OD时存在两个点：

构造直角三角形分别求得P点坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4）。

例19.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．

由旋转知G点轨迹是以A为圆心以AG为半径的圆，由GC=GB知G点轨迹是BC的垂直平分线，两轨相交可知存在两种情况，旋转角分别为60°和300°。

注：分类讨论问题中用轨迹定位法可使所求未知点一览无余没有遗漏！

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1

器：知识与模型 第一轮复习

2

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