|
前言： 定时更新最干货的初中数学压轴题型讲解。 如需要本堂内容的word电子版本，请私信与我 沈阳的中考数学作为辽宁的代表，正因为全省各地考试虽然不同，但是差别不大，所以要实行全省统考。今天分享的还是辽宁沈阳中考数学选填压轴的线段求解问题，大家可以借助合适的方式进行求解。把几何的基本结论运用好。 1．（2020·沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 5/2或1 ． 【分析】分两种情况讨论，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段成比例可得OH＝1/2AB＝3，HD＝1/2AD＝4，由折叠的性质可得∠APO＝∠EPO＝45°，可求OH＝HP＝3，可得PD＝1；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝5，通过证明△OFE∽△BAD，可得OF/AB=OE/BD，可求OF的长，通过证明△PFD∽△BAD，可得PD/BD=DF/AD，可求PD的长． 【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8， ∴OH∥AB， ∴OH/AB=HD/AD=OD/BD=1/2 ∴OH＝1/2AB＝3，HD＝1/2AD＝4， ∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F， ∴∠APO＝∠EPO＝45°， 又∵OH⊥AD， ∴∠OPH＝∠HOP＝45°， ∴OH＝HP＝3， ∴PD＝HD﹣HP＝1； 当∠PFD＝90°时， ∵AB＝6，BC＝8， ∴BD＝√AB²+√AD²=√36+√64=10 ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴∠DAO＝∠ODA， ∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F， ∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO， 又∵∠OFE＝∠BAD＝90°， ∴△OFE∽△BAD， ∴OF/AB=OE/BD， ∴OF/6=5/10， ∴OF＝3， ∴DF＝2， ∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB， ∴△PFD∽△BAD， ∴PD/BD=DF/AD， ∴PD/10=2/8， ∴PD＝5/2， 综上所述：PD＝5/2或1， 故答案为5/2或1． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．（2020·沈阳）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 8 ． 【分析】 根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】 解：∵点E，点F分别是BM，CM中点， ∴EF是△BCM的中位线， ∵EF＝6， ∴BC＝2EF＝12， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝12， ∵AM＝2MD， ∴AM＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2019·沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 13√2/2 ． 【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC·EP，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，作FH⊥PE于H． ∵四边形ABCD是正方形，AB＝5， ∴AC＝5√2，∠ACD＝∠FCH＝45°， ∵∠FHC＝90°，CF＝2， ∴CH＝HF＝√2， ∵CE＝4AE， ∴EC＝4√2，AE＝√2， ∴EH＝5√2， 在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5√2）²+（√2）²＝52， ∵∠GEF＝∠GCF＝90°， ∴E，G，F，C四点共圆， ∴∠EFG＝∠ECG＝45°， ∴∠ECF＝∠EFP＝135°， ∵∠CEF＝∠FEP， ∴△CEF∽△FEP， ∴EF/EP=EC/EF， ∴EF2＝EC·EP， ∴EP=52/(4√2)=(13√2)/√2 故答案为(13√2)/√2． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．（2018·沈阳）如图，△ABC是等边三角形，AB＝√7，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝ 1/3 ． 【分析】 作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，再证明∠ABH＝∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE＝1/2AH，AE＝√3/2AH，则CH＝√3/2AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH＝2，从而得到BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，BH＝1，接下来在Rt△BFH中计算出HF＝1/2，BF＝√3/2，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到HD/FD=2，从而利用比例性质可得到DH的长． 【解答】 解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°， ∴∠ABH＝∠CAH， 在△ABE和△CAH中 (∠AEB=∠AHC，∠ABE=∠CAH，AB=AC) ∴△ABE≌△CAH， ∴BE＝AH，AE＝CH， 在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°， ∴sin∠AHE＝AE/AH，HE＝1/2AH， ∴AE＝AH·sin60°＝√3/2AH， ∴CH＝√3/2AH， 在Rt△AHC中，AH2+（√3/2AH）²＝AC²＝（√7）²，解得AH＝2， ∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝√3， ∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1， 在Rt△BFH中，HF＝1/2BH＝1/2，BF＝√3/2， ∵BF∥CH， ∴△CHD∽△BFD， ∴HD/FD=CH/BF=√3/（√3/2）=2 ∴DH＝2/3HF＝2/3×1/2＝1/3． 故答案为1/3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质． 5．（2017·沈阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是 3√10 /5 ．
【分析】连接AG，根据旋转变换的性质得到，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG，根据勾股定理求出CG、AD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：连接AG， 由旋转变换的性质可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE， 由勾股定理得，CG＝√BG²-√BC²=4， ∴DG＝DC﹣CG＝1， 则AG＝√AD²+√DG²=√10， ∵BA/BC=BG/BE，∠ABG＝∠CBE， ∴△ABG∽△CBE， ∴CE/AG=BC/AB=3/5 解得，CE＝3√10 /5 故答案为：3√10 /5．
【点评】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 6．（2016·沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 25/6或50/13 ．
【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′＝90°，根据ED/MN`=DO`/O`N`计算即可 ②∠MON＝90°，利用△DOE∽△EFM，得DO/EF=ED/EM计算即可． 【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′＝90°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC，DE＝1/2BC＝10， ∵DN′∥EF， ∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′＝90°， ∴四边形DEFN′是矩形， ∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5， ∴ED/MN`=DO`/O`N` ∴10/2=DO`/(5-DO`)， ∴DO′＝25/6． 当∠MON＝90°时， ∵△DOE∽△EFM， ∴DO/EF=ED/EM， ∵EM＝√EF²+√MF²=13， ∴DO＝50/13， 故答案为25/6或50/13．
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． |
|
|
