中考数学：一招破解“十字垂直结构”

“十字垂直结构”是中考常常出现的试题，属于考前必须要掌握的知识点，破解此类题型的基本策略是：对两条互相垂直的线段进行平移，然后证明相关的三角形全等或者相似即可.

“十字垂直结构”常见的有两种：①在正方形中存在两条十字交叉垂直的线段； ②在矩形中存在两条十字交叉垂直的线段. 基本模型和破解方法如下：

基本结构1：如下图，在正方形ABCD中，若EF⊥GH，结论：EF=GH.

证明方法：如下图所示，过点A作AM∥GH交DC于点M，过点B作BN∥FE交AD于点N，则四边形AGHM和四边形BFEN都是平行四边形，于是有AM=GH，BN=EF.已知EF⊥GH，根据平行线的性质，易得AM⊥BN，则∠MAB+∠ABN=90°，∠MAB+∠MAD=90°，∴∠ABN=∠MAD. 在Rt△ADM和Rt△BAN中，∠D=∠BAN，AD=AB，∠MAD=∠ABN，∴Rt△ADM≌Rt△BAN（ASA）∴AM=BN，即EF=GH.

基本结构2：如下图，在长方形ABCD中，若EF⊥GH，结论：EF：GH=AB：AD.

证明方法：如下图所示，过点A作AM∥GH交DC于点M，过点B作BN∥FE交AD于点N，同上题，可知AM=GH，BN=EF， AM⊥BN，∠ABN=∠MAD，又∵∠D=∠BAN，∴△ADM∽△BAN，∴BN：AM=AB：DA，即EF：GH=AB：AD.

总结：①若在正方形中出现“十字垂直”，那么互相垂直的两条线段相等；②若在矩形中出现“十字垂直”，那么互相垂直的两条线段的比等于矩形的长宽之比.

基本证明方法：把两个互相垂直的线段分别平移到过四边形的顶点，证明相关三角形全等或者相似即可.

下面先讲解两道今年的中考题，然后是配套练习（附答案），请认真学习提高.

【典例1】（2018山东聊城第20题）如下图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.

（1）求证：AE=BF； （2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长.

解析：（1）如下图所示，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3， 又∵∠C=∠ABE，BC=AB，∴∆BCF≌∆ABE. ∴AE=BF；

（2）∵∆BCF≌∆ABE ∴ CF=BE=2，∴DF=DC-CF=3，在Rt∆ADF中，用勾股定理可求得AF=√34.

点评：本题难度不大，是对“十字垂直结构”的一次常规性考查，涉及到的知识点有全等三角形的判定、勾股定理的应用以及转化的数学思想.

【典例2】（2018年长春中考）如下图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE.

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE于点F，易证∆ABF≌∆BCE.（不需要证明）

【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.

（1）求证：BE=FG. （2）连接CM.若CM=1，则FG的长为________．

【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为________．

解析：（1）如下图，将GF平移到AH处，则AH∥GF，AH=GF. 接下来只要证明∆ABH≌∆BCE，即可得AH=BE，继而得BE=FG.

（2）∵M是BE的中点，∴CM是Rt∆BCE的斜边中线，∴BE=2CM=2. ∴FG=BE=2.

【应用】由上面解答信息可知ME=CM=3，BE=CG=6，∵ME⊥GC，∴四边形GMCE的面积=1/2·ME·CG=1/2×3×6=9.

点评：本题在“十字垂直结构”的基础上作了变形处理，层层递进逐步深入，难度渐渐变大，很有点类比探究的意境，有一个结论需牢记：若四边形的对角线互相垂直，那么它的面积就是两条对角线积的一半.

【配套练习】

探究证明

（1）如下图所示，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H. 求证：EF：GH=AD：AB.

结论应用

（2）如下图所示，在满足（1）的条件下，若AM⊥BN，点M、N分别在边BC、CD上，且EF：GH=11:15，则BN：AM的值为_______．

联系拓展

（3）如下图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求DN：AM的值.

【答案】

（1）如下图所示，过点A作AP∥EF，交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q.则四边形AEFP、四边形BHCQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ. 又∵GH⊥EF，AP∥EF，BQ∥GH，∴AP⊥BQ. ∴∠DAP+∠AQB=90°. ∵∠DAP+∠DPA=180°-∠D=90°，∴∠DPA=∠AQB，又∵∠D=∠DAB ∴△PDA∽△QAB，∴AP：BQ=AD：AB ∴ EF：GH=AD：AB.

（2）∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）的结论可得 EF：GH=AD：AB，BN：AM=AD：AB，∴BN：AM= EF：GH=11:15，即BN：AM的值为11/15.

（3）如下图所示，过点D作AB的平行线交BC的延长线于点E，作AF⊥AB交直线DE于点F.，则四边形ABEF是矩形. 连接AC，由已知条件得△ADC≌△ABC，可证得△ADF∽△DCE，∴DE：AF=DC：AD=1/2. 设DE=x，则AF=2x，DF=10-x，在Rt△ADF中，由勾股定理可解得x=4，∴AF=2x=8. ∴DN：AM=AF：AB=4/5.

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