|
上一节内容我们主要学习了利用轴对称把两条或三条线段转化到同一直线，结合“两点之间，线段最短”解决了距离之和最小的问题。这类问题经常结合等边三角形、菱形、正方形、圆等轴对称图形展开，也可能与函数图像相结合，无论条件怎么变化，内嵌的几何模型是固定的。今天要和大家继续分享几何模型1的几种推广． 推广3： 条件：如图，定点A、B在直线l的两侧  问题：在直线l上求一点P，使|PA-PB|最大  分析：作点B关于直线l的对称点B’，连结AB’并延长交直线l于点P，连结PB，则PB=PB’，所以|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’。要说明此时|PA-PB|的值最大很简单,在直线l上任取一点P’（不与点P重合），连结P’A、P’B、P’B’，因为P’B=P’B’，所以|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，所以点P是所求． 模型应用1：如图，点A、B在直线l的两侧，点A到直线l的距离AM=4，点B到直线l的距离BN=1，MN=4，P为直线l上动点，则|PA-PB|的最大值是 ．  模型应用2：如图所示，已知  答案：（1）5；（2）（2.5，0） “大”与“小”辩证对立，解决此类最小、最大值问题的思路相同，利用轴对称把线段转化到同一直线，根据“两点之间线段最短”或“三角形的三边关系”解决最值问题． 推广4 条件：如图，直线a∥b，且直线a、b之间的距离为h，定点A、B分别在直线a、b两侧 问题：分别在直线a、b上找一点M、N，使MN⊥直线a，且AM+MN+BN最小  分析：因为MN是定值，要使AM+MN+BN最小，就要使AM+BN最小，因为a∥b，且直线a、b之间的距离为h，过点A作AA’⊥a，使AA’=h，连结A’B，与直线b的交点即为N，过点N作NM⊥直线a，垂足为M，连结AM。由作法，可得四边形AMNA’是平行四边形，所以A’N=AM，因为此时A’N+BN=A’B最小，所以AM+BN最小，所以点M、N是所求．  模型应用：A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）  推广5 条件：如图，定点A、B在直线l同侧 问题：在直线l上找点M、N，使MN=a，且四边形AMNB的周长最小  分析:因为MN=a是定值，AB长也是定值，所以要使四边形AMNB的周长最小，就是要使AM+BN最小．过点A作直线AA’∥直线l，且AA’=a，易证四边形AMNA’是平行四边形，所以AM=A’N，把题目转化为A’N+BN之和最小的问题．作点A’关于直线的对称点A’’，连结A’’B，交直线l于点N，在直线l上向上截取NM=a，连结AM．此时四边形AMNB的周长最小．  模型应用1：已知点A（3，4），点B（－1，1），在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标． 模型应用2：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 平移抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 答案：（1） （-2/5，0) （2）提示：由题可知△ABC是等腰直角三角形，易证 上述两类推广要先把某一定点沿特定方向平移后结合轴对称解决问题，看似与之前的类型发生了变化，解决问题的原理还是一样的．关键是我们能否在变化的已知条件下发现不变的数学模型，变中有不变，不变中有变，以不变的规律性的方法来解决变化的数据、位置等条件，才不会因“变”而自乱阵脚． 对这一类距离之和最小，距离之差的绝对值最大等问题，你是否有了自己的领悟？顺祝端午节快乐！ |
|
|
