构建轴对称模型求最小值

构建轴对称模型求最小值

湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。

 

在现行教材“轴对称”一节中有一例题：如图1，在直线l同侧有两点A、B，在直线l上求作一点P使PA+PB最小。

图1                       图2

其作法如图2：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，那么点P就是所求作的点。以此作为模型可以解决下列求最小值的问题。

 

例1　如图3，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

图3

分析：首先分解此图形，构建如图4模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图5，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，

　　　　　　　

图4                            图5

由∠BAD=60°，AB=AD，AE=BE知，，故PE+PB的最小值为。

 

例2　如图6，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_______________。

图6

分析：分解出图形，构建如图7模型，转化为在ON上，求作一点P，使PA+PB最小。根据圆的对称性，易知点A关于ON的对称点A′在⊙O上,如图8，连结A′B，A′B即为PA+PB的最小值，又因为A′三等分半圆，∠A′OP=60°，∠BOP=30°，∠A′OB=90°，则由勾股定理得：A′B=，故PA+PB的最小值为。

　　

图7            　              图8

例3. 如图9，抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。

图9

（1）求该抛物线的解析式。

 

（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

 

重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN，则可分解出如图10图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。

图10

例4　如图11，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是边AB上一动点，则EC+ED的最小值为_______________。

　　　

图11　　　　　　　　　图12

分析：如图12，作点C关于AB的对称点F，连结FD交AB于点E，连结AF、BF，易证四边形ACBF是正方形，从而求出DF长为，即EC+ED的最小值为。

 

综上所述，解决这类最小值问题的关键是构建适当的数学模型，从而使问题化难为易，轻松求解。

2011-11-01  人教网