|
如图在圆O中，BC=2，AB=AC，点D为弧AC上的一个动点，且cosB=√10/10。 （1）求AB的长度 （2）求AD×AE的值 （3）过A作AH⊥BD，求证BH=CD+DH  分析： 第一问简单，过A做BC的垂线，cosB=1/AB=√10/10， 所以AB＝√10=AC。第一问的结论一般后面要用到。 第二问就难一点。遇到要求这种形式的值，十有八九是通过分别包含AD和AE的两个三角形相似，然后得出x/AD=AE/y的结论，其中x、y也分别是相似三角形的两边，且可求。 观察图形，连接CD，如图所示  猜测包含AD的△ADC和包含AE的△ACE， 现有已经有一个公共角∠CAD，只需再找到两个角相等， 因为ABCD四点共圆，所以∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形的对角互补）， 而∠ACE+∠ACB=∠ACE+∠ABC=180°， 所以△ADC∽△ACE，从而AC/AD=AE/AC， 因此AD×AE=AC×AC=10。 有了第二问连接CD以后，第三问也不难了。 要证BH=CD+DH，一般有截取法和增补法两种思路，根据题目已给的条件，用截取法比较方便。 在BH上取一点G，使GH=DH，连接AG，如图：  现在只需证BG=CD即可。 其实添加辅助线以后是一目了然的，就是证△ABG≌△ACD。 可知△AGH≌△ADH（公共边AH，GH=DH，直角）， 所以AG=AD，（或者通过勾股定理，也可直接得） 因为AB=AC，∠ABD=∠ACD（同一个圆弧对应的圆周角） ∠AGB=180°-∠AGD=180°-∠ADB， ∠ADC=180°-∠CDE=180°-∠ABC， 因为∠ADB和∠ABC是相等的弦所对应的圆周角， 所以∠ADB=∠ABC， 所以∠BAG=∠CAD， 所以△AGH≌△ADH，从而BG=CD 即：BH=CD+DH。 小结：四点共圆的性质和相似三角形的证明是中考绝对的热门考点。 |
|
|
