中考数学压轴题分析：旋转辅助线

“等长共点”则考虑用旋转。

本文内容选自2020年南通市中考数学压轴题。涉及等腰有关的辅助线。

【中考真题】

（2020·南通）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD+CB＝CA时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
【分析】

题（1）求三角函数，则需要构造直角三角形。可以直接过点C作AD的垂线。得到两个直角三角形Rt△ACF与Rt△FCD，根据∠B与∠D互余，考虑利用三线合一得到两个直角三角形，并利用相似，求出CF、DF的长度，进而得到san∠CAD的值。

遇到两条边相等且有公共的顶点的时候——“等长共点（等腰）”的模型常常考虑用旋转的方式作辅助线。题（2）的解法，可以考虑如下图作辅助线。可以旋转△ACD，也可以旋转△BDC。

利用旋转，可以得到△CDM为等腰直角三角形得CM为CD的根号2倍。再利用已知条件可以得到△BCM为直角三角形，也就是说∠BCD=45°，那么因为∠DAB=45°就可以得到结论了。

此类问题比较常见，需要对比总结。本质方法都是利用旋转进行转化。

题（3）的难度略大。求AE与BE的比值，优先考虑利用相似进行转化。由于根据条件得到∠ADC+∠AEC=180°，可以得到它们四点共圆。

进而得到∠BDC=∠CAE，那么就可以得到∠ADB=∠BAE，可以得到一组相似三角形，也就是△BAE∽△BDA，把AE与BE的比值，转化为BA与AD的比值。也就是说只要求出AD的长度即可。设点D的横坐标，然后再利用（2）的条件（2CD+CB＝CA²可以转化为本题的结论）建立等量关系，进而表示出AD的长度即可。

【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．

∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，
AE4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF，
∴sin∠CAD．

（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．

理由如下：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD+CB＝CA，CM＝DM+CD＝2CD，
∴CM+CB＝BM，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形．

（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，

∴AC+BC2＝AB，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴u，
设D（x，t），
由（2）可知，BD＝2CD+AD，
∴（x﹣3）+t＝2[（x﹣1）+（t﹣2）]+（x+1）+t，
整理得（x+1）＝4t﹣t，
在Rt△ADH中，AD2，
∴u（0＜t＜4），
即u（0＜t＜4）．