高中数学求轨迹方程的六种常用技法

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

　　轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

　　1．直接法

　　根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。

解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率

由已知有

化简，整理得点的轨迹方程为

练习：

1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是 。

2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （　　）

A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

　　2．定义法

　　通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2．若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。

　　解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得

，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。

所以由可得

故的重心轨迹方程是

　　练习：

　　4．方程表示的曲线是 （　　）

A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线

　　3．点差法

　　圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，

且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。

例3．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。

解：设过点的直线交椭圆于、，则有

① ②

①②可得

而为线段的中点，故有

所以，即

所以所求直线方程为化简可得

　　练习：

5．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。

6．已知双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使 为线段的中点？

　　4．转移法

　　转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

　　当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：

　　①某个动点在已知方程的曲线上移动；

　　②另一个动点随的变化而变化；

　　③在变化过程中和满足一定的规律。

例4． 已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。

　　解：设 重心，点 ，因为

　　　　则有， 故代入

　　　　得所求轨迹方程　

例5．抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程。

解法一：（转移法）设，∵，∴平行四边形的中心为，

将，代入抛物线方程,得，

设，则

①

∴，

∵为的中点.∴，消去得

，由①得，，故动点的轨迹方程为。

解法二：（点差法）设，∵，∴平行四边形的中心为，

设，则有

① ②

由①②得 ③

而为的中点且直线过点，所以代入③可得，化简可得④

由点在抛物线口内，可得⑤

将④式代入⑤可得

故动点的轨迹方程为。

练习：

7．已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。

　　5．参数法

　　求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过'坐标互化'将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

　　例6．过点作直线交双曲线于、两点，已知。

　　（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

（2）是否存在这样的直线，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

解：当直线的斜率存在时，设的方程为，代入方程，得

因为直线与双曲线有两个交点，所以，设，则

①

设，由 得

∴ 所以，代入可得，化简得

即 ②

当直线的斜率不存在时，易求得满足方程②，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）

（2）平行四边为矩形的充要条件是即 ③

当不存在时，、坐标分别为、，不满足③式

当存在时，

化简得，

此方程无实数解，故不存在直线使为矩形。

　　练习：

8．设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求:

　(1)动点的轨迹方程； (2)的最小值与最大值。

9．设点和为抛物线上原点以外的两个动点，且，过作于，求点的轨迹方程。

　　6．交轨法

　　若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例7．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。

解1:(利用点的坐标作参数)令，则

而.设与的交点为

因为共线，所以 因为共线，所以

两式相乘得①， 而即代入①

得，　即交点的轨迹方程为　

解2: (利用角作参数)

设，则

所以 , 两式相乘消去

即可得所求的点的轨迹方程为 。

练习：

10．两条直线和的交点的轨迹方程是___ ______。

　　总结归纳

　　1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的'完备性'和'纯粹性'，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。

　　2．'轨迹'与'轨迹方程'既有区别又有联系，求'轨迹'时首先要求出'轨迹方程'，然后再说明方程的轨迹图形，最后'补漏'和'去掉增多'的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。

练习参考答案

1．

2．解：设点的坐标为，则由方程，得

由于直线与椭圆交于两点、，故

即、两点的坐标分别为

∴

由题知即

∴即所以点的轨迹方程为

3．D 【解析】在长方体中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线与是异面垂直的两条直线，过直线与平行的平面是面，设在平面内动点满足到直线与的距离相等，作于，于，于，连结，易知平面，则有，(其中是异面直线与间的距离)，即有，因此动点的轨迹是双曲线，选D.

4．A

5．解 设，

则，由，

两式相减并同除以得

,　而

, 又因为所以

化简得点的轨迹方程

6．先用点差法求出，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。

7．解：设，则

由

即

所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。

∵点是点关于直线的对称点。

∴动点的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与

垂直，于是有即

故动点的轨迹方程为。

8．解：(1)解法一:直线过点，设其斜率为,则的方程为

记、由题设可得点、的坐标、是方程组

的解

将①代入②并化简得,,所以于是

设点的坐标为则消去参数得 ③

当不存在时, 、中点为坐标原点,也满足方程③,所以点的轨迹方程为

解法二:设点的坐标为,因、在椭圆上,所以

④ ⑤

④-⑤得,所以

当时,有 ⑥

并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧

当时,点、的坐标为，这时点的坐标为

也满足⑧,所以点的轨迹方程为

(2)解:由点的轨迹方程知，即所以

故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值, 最大值为

9．解法1 ：(常规设参)设，，则

　（※）

由共线得 则

把（※）代入上式得化简得的轨迹方程为)

解法2： (变换方向) 设的方程为，则的方程为

由　 得 ， 　由　得

所以直线的方程为 ①

因为，所以直线的方程为 ②

①×②即得的轨迹方程:

解法3： (转换观点) 视点为定点,令，由可得直线的方程为, 与抛物线联立消去得,设，则

又因为，所以

故即

所以点的轨迹方程为

10．