【初中数学微课堂】【初中数学微课堂】第9讲：一次函数有关等腰三角形存在性问题

【典例】如图，已知一次函数y =  -  x +7与正比例函数y  =  3(4) x的图象交于点 A(3，4)，且与x轴交于点 B（7，0）.过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【命题意图】本题考查了一次函数的综合应用，考查把函数问题转化为几何问题，结合几何特性求解的能力，考查分类讨论的思想，难度较大．

【解题过程】当P在OC上运动时，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t

当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,

整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)

当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,

整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)

当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2

整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)

当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

  

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.

由cos∠OAC= AQ(AE) = AO(AC)，得AQ = 3(5)(t-4)．

当AP=AQ时，7-t = 3(5)(t-4)，解得t = 8(41).  

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= 2(1)AP

得t-4= 2(1)(7-t)，解得t =5.

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F

AF= 2(1)AQ = 2(1)×3(5)(t-4).

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ AP(AF)＝5(3)，得AF＝5(3)AP

即2(1)×3(5)(t-4)= 5(3)×(7-t)，解得t= 43(226).

∴综上所述，t=1或 8(41)或5或 43(226) 时，△APQ是等腰三角形.

【方法指导】一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：

①研究背景图形，把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息．

②分析不变特征，确定分类标准． 

③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．

不变特征举例：

①等腰直角三角形 ：根据直角顶点确定分类标准，然后借助两腰相等或者45°角确定点的位置； ②等腰三角形 ：以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置； ③全等三角形 ：找准目标三角形，根据目标三角形的特征确定分类标准，利用对应关系确定点的位置。

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