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数学学习一直困扰着大多数同学，从小学到大学阶段，几乎所有人都不能避免数学学习。尤其是改变人身命运的几场大考—中考、高考、研究生入学考试（除了纯文科之外）都有数学的身影存在。 在几场关键考试中，数学成绩的高低也往往决定了一个人能否进入一个好高中、好大学，可是小学毕业以后，能对数学有信心的人并不多见。 因为，我们在数学上下的功夫已经不是算术，即诸如加减乘除的计算问题，我们所面对的数学是一门培养我们世界观和方法论的学问（因为计算的复杂程度很小，比如很多题都以1、2、3或a、b、c来充当题目中的数字）。 作为一门最普通寻常、最基础的科目，为什么会给我们带来诸多烦恼，为什么让我们谈数学而色变，甚至因为它的左右而改变了我们人生的轨迹。像朱自清、罗家伦、钱钟书那样数学零分还能上清华北大的事情，现如今几乎不会重演。 如何才能让我们对数学提起兴趣、对数学增强信心并且学好数学，是一个至关重要的问题。而这一问题的答案，首先要回答如下几个问题：知道数学是什么，数学能干什么，数学对普通人来说有什么用。 只有这样，我们才能体会数学的魅力，才会感受到数学的热情，才会找到学习数学的方法，才能解释为什么数学在人类历史上占据着重要的地位，才能理解为什么数学能够在我国的考试史上也占据着“霸主”地位。
一 数学是什么：探索宇宙
拉普拉斯说曾经说“莱布尼茨在他的二进位算数中看到了宇宙创始的原象。他想象1表示上帝，而0表示虚无，上帝从虚无中创造出所有实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数。”这句话是什么意思呢？我们有必要引入勾股定理或毕达哥拉斯定理来方便大家理解。 学过数学的人随口便能说出描述这一三角形的两句话，“勾三股四玄五”“三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”。然而，我们要讨论的并不是商高的勾股定理早，还是毕达哥拉斯的定理更好用一些。我们要聊的是他们二位发现的这一定理的理论根源是什么，为了什么的问题。这些古代哲学家选中了数字，而且毕达哥拉斯学派也可理解为“唯数论派”。
为什么是数字，数字可以说是人存在在自己脑海里的“纯粹像想出来的东西”。试想一想，现实世界当中是否存在着抽象的“1、2、3、4……”这些数字呢？仔细想来好像是没有，那么我们会发现“1、2、3、4……”这些数字都是凭借着外在具体的物体来表达的，比如“一个苹果”“一首歌”“两把椅子”……这是什么意思呢？ 其实，这种纯粹的想象出来的数字正是笛卡尔的“我思故我在”的真谛，即我不能再怀疑我正在怀疑着了，也就是说，我们可以怀疑一切事物，但是有一件事我们无法再怀疑了，就是当我正在怀疑（思考）的时候，我不能再怀疑（思考）我正在怀疑（思考）着这件事。因此，我们就可以认为这件事就是我们大脑思考出来的一件“纯粹的理性”的东西。这样就我们能够理解和解释数字所具有的“纯粹性”和“可靠性”了。 从数字的“纯粹性”和“可靠性”，便能推断出到数字的“理性”特征。我们可以想象，如此可靠的东西，在毕达哥拉斯的哲学里，也就是他的形而上学（Metaphysics），或者说是他本体论（Ontology），其实就是他完全的宇宙探索。那么，毕达哥拉斯是如何具体实施他的宇宙探索的呢，我们可以通过他和他的学派在音乐上的发现略窥一二。 由于数字与数字之间存在比例关系，毕达哥拉斯学派在音乐方面发现，一根拉紧的琴弦发出的声音取决于弦的长度，如果琴弦要发出和谐的声音（注意：是和谐的声音），则必须是琴弦与琴弦的长度成整数比。 推而广之，至宇宙中同理，行星产生的声音是随着他们与地球的距离的变化而变化的，而在这种美妙的比例之中，在毕达哥拉斯眼前便形成了的一幅绚丽的宇宙天体交响图景。 我们在这里不讨论毕达哥拉斯的奇思妙想是否有根据，是否符合一般大众所谓的“科学性”，我们应该关注的是他真正为我们带来的对数字的全新的认识，对数学的全新认识。他确实能够解放我们的思想——数学既是人类日常生活中无差别的表达，也是探索宇宙的基石。
二 数学能干什么：表达人生
数学是工具，更是一门语言，它与我们的生活密切相关。当今世界最常用的十进制记数系统是以十为基底进行计算，在查找大量历史资料后，找到了看似荒诞的原因，我们使用十进制就是因为人有十只手指。 看到这里，难免会有人指出为什么除了十进制以外，还有二进制、四进制、五进制、七进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制……六十四进制等基本进位制记数系统，难道我们身体长着各种组合形式的手指头或是加上了脚趾头在运算吗，您还别说，还真有传闻说凯尔特人就是加上脚趾头使用二十进制的。 举例来说，英文和德文中11和12 就不是按照十进位原则把数码和“10”（teens）组合在一起的，在语言上他们与10无关，而法文的80写作“20”（vingt）和“4—20”（quatre-vingt），90是quatre-vingt-dix(4×20+10)，而丹麦语中的70 的写法是“halvfirsindstyve”大意是从三倍20到四倍20的某个中间值。 下图是网上流传最火的各国人识数图，它是以几个国家的语言读97为例的。这是里可以看出语言逻辑与数字逻辑的互为表征。
各国人识数图 除了身体、语言的相关性以外，我们每天看到的时间是六十进制的技术系统。60秒是1分钟，60分钟为1小时，想必也有其合理的解释，此处不再赘述。通过前文，我们发现数学的确与我们的身体、语言、日常生活密切相关。而且相关的如此完美，完美到不能察觉，完美到忘记它的存在。 数字是“纯粹的”“理性的”“可靠的”东西。它并不像是我们日常语言，如中文“吃了吗？”还有“你好”的意思（语境再现：在一个中午的，刚出家门的邻居A和B的对话。A：吃了吗？B：吃了。=A：您好！B：您好！）；英文中“Thank you”还有“不要”的意思（语境再现：一个咖啡馆，服务员与客人的对话。A：Would you like a cup of tea, sir？B：No，thanks.）。 康德总爱用5+7=12为例子，此处我们暂不探讨为何他对这几个数字情有独钟，但是5、7、12确实是不能代替、没有误解的东西，其作为人脑中纯粹的想象出来的，在真实世界没有的，只能依托于载体而存在的东西——数字的必然真理性，可以用《武林外传》里郭芙蓉的口头禅“确定一定以及肯定”来表达的。但是5、7、12，也是要有其限定性，这就谈到了语境问题。 关于语境，就不能不提到函数。函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，是对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值。 那么，如果我们想用y=f（x）来表达一个事件是没有问题的。比如，我今天和我女朋友去逛街了，用函数y=f(x)来描述就是这也就是：事件=f(今天、我、女朋友、逛街)，其中事件就是y，x就是今天、我、女朋友、逛街，x∈A，定义域A就是这一切的限定条件，即类似于5W1H的限定条件。其中x∈A中的A就是语境。 所以，数学家A·波莱尔会说数学是“高度专门化的语言”，我们可以延伸他的话说数学是一种没有歧义的语言，没有任何误解的理解的语言，是人类的通用语。这样一来，我们就能理解常见的试卷中，试题为何总在求定义域：已知f（x）的定义域为[0,1],求f（x+1）的定义域。是因为定义域在“可靠性”和“理性”上是比生活用语的语境更有确定性的。
三 数学有什么用：寻找诗和远方
既然我们能够用函数来描述一个事件了，我们也就等于得到了最简便的、最无争议的、最可靠的、最通俗易懂表达方法——y=f(x)了。那么，我们很容易联想到20世纪几位先锋艺术家，诸如蒙德里安、马蒂斯、毕加索、斯特拉文斯基、J.凯奇等人的作品，蒙德里安的格子画是随手而为之的吗，毕加索把“屁股画在脸上”是为了哗众取宠吗，斯特拉文斯基的《春之祭》是“群魔乱舞”吗，凯奇的“4分33秒”是为了“博出位”吗。
一切艺术家的艺术尝试，都与我们的语言、我们的数学有着密切的关联。仅以毕加索画牛为例，我们一看到此图便能一目了然，他在尝试用一种极端的语言来表达他所要表达的事件。
毕加索画牛 我们相信，每位艺术家都是如此，在自己的领域尝试着一种属于自己的语言，而这种语言就是以理性、可靠性、可读性为追求的尝试。而这种尝试就是科学的精神、数学的精神、哲学的精神，这是探索宇宙人生的精神，并非普通大众眼中的信手涂鸦。
综上所述，只有真正认识数学是什么，我们才会有激情、有热情投身到学习数学的工作当中去。去体会怀特海所说的“作为人类精神最原始的创造，只有音乐堪与数学媲美。 只有学过数学财富的少数人，才能尝到数学的‘特殊乐趣’”。只有这样，我们才能在学习的道路上不把“数学想象得艰难灰色，不可捉摸，它只不过是常识的升华而已。”（L·开尔文）只有这样，我们才能逐渐培养起学习数学的动力，抓住学习数学的方法，在今后的学习过程中品尝到那种“特殊乐趣”，成为像毕达哥拉斯那样撩动宇宙和人生琴弦的人。
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